圆锥曲线方程综合练习（3）.doc

圆锥曲线方程综合练习3
一. 选择题：
1. 双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
2. 已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足，O为AB的中点，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
3. 双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
4. 双曲线的渐近线方程为，它的一条准线方程为，则双曲线方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 与椭圆共焦点，且两准线间的距离为的双曲线方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知双曲线的焦点为，弦AB过且在双曲线的一支上，若，则等于（ ）
A. B. C. D. 不能确定

二. 填空题：
7. 双曲线的虚轴长为____________
8. 以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率为_________。
9. 已知双曲线的实轴长为，MN为过左焦点的一条弦，且，为双曲线的右焦点，则的周长为______________。
10. 渐近线方程为，焦点在圆上的一对共轭双曲线的方程是_________。

三. 解答题：
11. 一条直线与双曲线及渐近线相交，求证这条直线夹在双曲线与渐近线之间的两条线段相等。

12. 求证：等轴双曲线上任意一点P到中心的距离等于P到两个焦点距离的比例中项。

13. 双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为，它的两个焦点分别为，直线过且与直线的夹角为，且，与线段的垂直平分线的交点为P，线段与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。

【试题答案】
一. 选择题：
1. D
解：
两边平方并整理得
即
解得（舍）或
2. B
由双曲线的定义，点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支且，由双曲线的几何性质知，当点P为双曲线的顶点时，的值最小，最小值
3. C
解：

当且仅当时取等号
的最小值为。
4. D
由准线方程知双曲线的焦点在轴上

又由得
故选D。
5. A
解：

又焦点在轴上，故双曲线方程为
6. C
解：不妨设为左焦点，则由双曲线的定义
，

二. 填空题：
7.
解：原方程化为，
8.
解：双曲线的顶点为（）焦点为
故椭圆的焦点为
长轴顶点为
椭圆的长半轴
半焦距，得
9.
解：由双曲线的定义得，，两式相加得，所求周长为
10.
解：

三. 解答题：
11. 证明：设双曲线为，则渐近线方程为
又设直线方程为，四个交点依次为A、B、C、D要证，只要证AD与BC有共同的中点即可，把分别代入双曲线方程和渐近线方程，并整理得：

由韦达定理得AD和BC的中点横坐标都为，故两中点重合。
，即直线夹在双曲线与渐近线之间的两条线段相等。
12. 证明：设P是等轴双曲线上任一点，
则且两焦点，

双曲线的两准线方程为
由双曲线的第二定义得

（）
结论成立
13. 解：以的中心为原点，所在的直线为轴建立坐标系，则所求双曲线方程为 （）设，不妨设的方程为，它与轴交点，由定比分点坐标公式得Q坐标：

由点Q在双曲线上得：
（1）
又 （2）
（3）
解得
双曲线方程为

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