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授课提示：对应课时作业（五十四）
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.（2009年陕西高考）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）
A.300 B.216
C.180 D.162
解析：分两类：①选0.=108（种）；
②不选0.=72.
∴共有108+72=180（种）.故选C.
答案：C
2.将标号为1,2，…,10的10个球放入标号为1,2，…,10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）
A.120 B.240
C.360 D.720
解析：先将7个球按标号放入到有相同标号的7个盒子中有C710种方法，再将余下的3个球放入不同标号的盒子中共有2种方法.由分步计数原理，共有=240种不同方法.
答案：B
3.紫光农科院培植的茄子、西红柿、南瓜、黄瓜4个转基因果蔬参加新品种展销会，在布展时，分两层摆放，每层2个，其中茄子和西红柿要放在不同的层架上，则不同的摆放方式有（）
A.4种 B.8种
C.16种 D.32种
解析：先从受限元素入手，茄子与西红柿分别放在两层上有2种放法，在每一层上，这两种作物各从两个位置选一个有=4种放法，其余两种作物从剩余位置任意排列有2种排法，根据分步计数原理，所以共有16种摆放方式.
答案：C
4.（2009年广东高考）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四个分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）
A48种 B12种
C18种 D36种
解析：若小张和小赵恰有1人入选，则共有 =24种方案，若小张和小赵两人都入选，则共有=12种方案，故总共有24+12=36种方案.故选D.
答案：D
5.（2009年湖北高考）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）
A18 B24
C30 D36
解析：排除法.先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有=6种方法，再将三组同学分配到三个班级有=6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有=6（种），所以共有=30种分法.故选C.
答案：C
6.（2009年四川高考）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A360 B288
C216 D96
解析：
答案：B
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有种（用数字作答）.
解析：先分类：（1）取出的四张卡片为1，2，3，4有（）4=16种；（2）取出的四张卡片为1，1，4，4只有1种；（3）取出的四张卡片为2，2，3，3只有1种；再将取出的四张不同卡片全排列（16+1+1）×=18×24=432.
答案：432
8.（2009年浙江高考）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）.
解析：3个人各站一级台阶有=210种站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有=126种站法，共有210+126=336种站法.故填336.
答案：336
9.（2009年宁夏、海南高考）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有种（用数字作答）.
解析：解法一先从7人中任取6人，共有种不同的取法.再把6人分成两部分，每部分3人，共有种分法.最后排在周六和周日两天，有种排法，∴C67×C36C33A22×A22=140（种）.
解法二先从7人中选取3人排在周六，共有C37种排法.再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C34种排法，∴共有C37×C34=140（种）.
答案：140
三、解答题(共46分)
10.（15分）把3名裁判员和5名奥运志愿者分配到3个不同的比赛场馆，要求每个比赛场馆至少分一名裁判和一名志愿者，则不同的分派方式有多少种？
解析：分三步：第一步，把5名奥运志愿者分3组，有1、1、3和1、2、2两种分组方式，即：=25种不同的分法；第二步，把3组奥运志愿者分派给3名不同的裁判；第三步再把分好的3组人员分派到3个不同的奥运场馆.故不同的分派方式有25×=900（种）.
11.（15分）在书柜的某一层上原来共有5本不同的书，如果保持原有书的相对顺序不变，再插进去3本不同的书，那么共有多少种不同的插入方法？
解析：解法一原有的5本书之间有6个空档（含首尾），新插入的三本书可以全部相邻，部分相邻，也可以互不相邻.当3本书全部相邻时，插入方法有=36（种）；当3本书部分相邻时，插入方法有=180（种）；当3本书互不相邻时，插入方法有A36=120（种）.由分类计数原理，共有=36+180+120=336（种）.
解法二将3本书分三步插入原有书中，第一步插入1本书.每一步，插入第1本书，有6种方法；第二步，插入第2本书，有7种方法；第三步，插入第3本书，有8种方法，由分步计数原理，共有6×7×8=336种方法.
解法三原有的5本书加上新插入的3本书，共需要8个位置，先选择5个位置把原来的5本书按原来的顺序放入，有C58=56种排法，然后由新加入的3本书在余下3个位置上进行排列，有=6种方法，所以共有56×6=336种方法.
解法四3本新书与原来的5本书重新排列共有种方法，但是原来的5本书的种不同顺序中仅有一种是符合题意的，所以符合题意的插法共有=336种方法.
解法五试想原来的5本书与新插入的3本书已经放好，则这3本新书一定是这8本书中的某3本.因此“在5本书中插入3本书”就与“从8本书中抽出3本书”一一对应，每一种插法对应一种抽法，故符合题意的插法共有=336（种）.
12（16分）（1）7个相同的球任意的放入4个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？
（2）7个相同的球任意的放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？
（3）7个不同的球任意的放入4个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？
（4）7个不同的球任意的放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？
解析：（1）球和盒子都相同，所以求不同的方法数实际上是如何把7个球分成4堆，每一堆都有球，再随便放入盒子即可.这样的组合方式有7=4+1+1+1，7=3+2+1+1，7=2+2+2+1，所以只有3种放法.
（2）球相同而盒子不同，所以也可以把7个相同的球先分成四堆再放入不同的盒子里，若分成4、1、1、1四堆，则可以先把4个球这一堆放入某个盒子，共有种方法，其他三个盒子因为球相同，所以是同一种放法；若分成3、2、1、1四堆，则可先把3个球和2个球这两堆放入其中的两个盒子，有种放法；若分成2、2、2、1四堆，则可先把1个球放入某个盒子，也有种放法，所以=20种方法.这个问题还可以用挡板模型来解，即把排成一行的7个小球分成四份，只需在7个小球的6个空隙中插入3个挡板，这样共有=20种放法.
（3）球不同，盒子相同，所以实际上只需把这7个不同的小球分成四堆即可，这可以用分配模型来解，若分成4、1、1、1四堆，有种放法，若分成3、2、1、1，有种放法，若分成2、2、2、1四堆，有种放法，所以这样的放法共有=350（种）；
（4）球不同盒子也不同，可以考虑先将7个不同的球分成4堆，再放入4个不同的盒子进行全排列，所以共有350·=8 400（种）.
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