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实际流体的动量传递一纳维-斯托克斯方程

实际流体具有粘性，故也称为粘性流体。与冶金机械欧拉方程的推导思路类似，实际流体的运动方程也可从牛顿第二运动定律导出，式(1-2-69)仍然适用。所不同的是，实际流体所受到的表面力除法向力外，还有切向力，对单位面积而言，则分别称为法应力和切应力。切应力即流体流动时的粘性应力。从量纲的角度考虑，应力与动量通量相当，因此上述表面应力均可表示为!'，其下标i表示动量的传递方向，j表示流体的流动方向，即动量的方向。
下面进行流体的受力分析。
图1-2-23为直角坐标系下实际流体中一微元六面体，其边长分别为dx，dy和dz。此微元体的每个面上都受到与之毗邻的来自外部流体的表面力的作用，这种表面力表现为：由流体单位元体线变形而产生的法向力和由流体粘性引起的切向粘性力。图1-2-23示出了微元体在x轴方向的受力情况。
图1-2-23微元体受力示意图微元体在x轴方向所受质量力为：
pXdxdydz (1-2-80)
微元体在x轴方向所受法向力为左、右两侧面所受法向力之代数和，即
[(!**+^fdx)-]dydz=^Mxdydz
在x方向所受切向粘性力为上、下和前、后四个面上的4个x方向之切向粘性力的代数和，即
[(!+x+管办)-!yx]dxdz+[(!zx+#fdz)-!zx]dxd+=(#^+)dxd+dz因此，微元体在x轴方向受到的总表面力为：
(#f+賢+#f)dxdydz (1-2-81)
微元体沿x轴方向总的净动量率为：
[]dxdydz (1-2-82)
#x #y #z
微元体内动量率的积累为：
jOUx
!t
■dxdydz
(puxux)(puxu%)!x+!y
因此，根据牛顿第二运动定律[式1-2-69]，有将上式右端的各项展开，并运用连续性方
程，可得.+丄(+!#yx+!#zx)=!Ux
O\3x!y!z/!t
同理，有
!(puxuz)!(pux)!z+!t
(1-2-83)
(1-2-84)
!ux!ux!uxDux
!T+UxaT+UyaT+Uz
+
Y+-
z+-
!x!y!z/
!xy!yy )
!x!y!z/
(1-2-84a)
(l-2-85a)
(l-2-85b)
(l-2-85c)
办1!z/—!t!x,i!x〜z!z—Dt
DuxDt
DUy
：Dt
!yz )_Duz
,!x+!y+!z)Dt
式(1-2-85)即为以应力形式表示的实际流体的运动方程。
对不可压缩流体，上述三个运动微分方程中只有密度"和质量力的三个分量X，Y，Z为己知，尚有9个应力分量和3个速度分量共12个未知数，加上连续性方程也只有四个方程，欲求解12个未知数是不可能的，所以还必须设法找出这些未知量之间的其他关系。
对一维流动的牛顿型流体，其切应力与法向速度梯度的关系可用牛顿粘性定律来描述。当流体作三维运动时，情况要复杂得多，每一切应力都与其作用面上两个方向的速度梯度有关，其关系为(推导过程从略）：
#xy_#yz_$
/9ux9u%\(+!x)
1-)-86a）
#yz_#zy_$
/!Uy!uz、
\!z!y)
1-)-86b）
#zx_#zx_^(!z?+axz)(1-2-86c)
而法应力则由如下两部分组成:一部分由流体的静压力产生，其结果使流体微元承受压缩应力而发生体积形变;另一部分由粘性应力作用产生，其结果是使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩应力，发生线性变形。各法应力与静压力和速度梯度之间的关系如下：
。!ux
#xx_-p+2$ax-■
2 (!ux3u2\
3 $!x!y!z/
1-)-87a）
。!uy
tyy_-9+2$!%-■
2 /!ux!!3u2\
3 $!x+!y+!z/
1-)-87b）
。！uz
#zz_-p+2$az-■
2 /!ux!Uy!uz、
3 $!x+!y+!z/
1-)-87c）
将方程式（1-2-86)和式(1-2-87a)代入方程式(1-2-85a)，得
"一丄!92!2!x2(a2!!2Uy^Uz)
Dto!x+%!x23%!x2+!x!y+!x!zj
/!2uxc!u^/ c!u2\
+v(!%2+!x!y)+v(!z2+axaz)
整理后，可得
Du#
Dt
1"p /"+ux "2"x 丄1 ""u "u, ( )
&-!"#+v("X2*)+孓"("#+式+)(1-2-88a)
同理，有
11_ol-
Y
--
丨"lly+"2Uy+"+")+1"
"X2T"y2T"
5(1"+"",+"")d-2-88b)
"y\"x"y"z/
Du^v1"p/"2"z"2"z"uz、1"("2u"Uy"Uz\ { 、
:z-—"+v|^+^+^r)+yv"("#+亥+") (1-2-88c)
Dt
将以上三式写成向量形式为：
Du%FDtFg
.丄2.p+#22,u+\v$(2.u)
(1-2-89)
式中v=%/p——流体的运动粘度。
对不可压缩流体，其连续性方程为：
"u#"u,"Uzt：—+ T=0
"x"y"z
将其代入方程组（1-2-88)可得
Du#
Dt
Du,
Dt
Duz
v1"p/"u#"u#"2ux、:X-——Y+v|^2#+•'1
!"x
2+A2
y"z
Y
IIp
ry 1"p I
Dt_Z-!"z+#
、"x2 ^
丨c^u, "u, "2u,)
、"x2 "y2 "z2/
'"^ "2uz "2uz\
"x2
"z+
写成向量形式为：
盖今!!-p+#u
(1-2-90a)
(1-2-90b)
(1-2-90c)
(1-2-91)
式(1-2-90)称为实际不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程(N-S方程），即实际不可压缩流体的动量传递方程。由于通常情况下，工程中的流体都可近似按不可压缩流体来处理，因此，式(1-2-90)是牛顿型粘性流体运动所遵循的基本规律。
从推导过程可以看出，式（1-2-90)只适用于层流，而以应力形式表示的方程组（1-2-85)在理论上同时适用于层流和紊流。但由于未知数多于方程数，求得纳维-斯托克斯方程的分析解一般比较困难，往往需通过简化或实验补充条件后才能得到近似解。
下面以平壁间的稳态层流为例，讨论纳维-斯托克斯方程的求解和应用问题。
限于本书的要求和篇幅，有关纳维-斯托克斯方程的其他求解和应用问题，可参考有关工程流体力学的书籍，本书不再详述。
【例1-2-6】今有一不可压缩流体在两平行平板之间作稳定层流流动（如图1-2-24)，试求其间的速度分布。
解假设平板无限大，两平板之间的垂直距离为2%，且所考察的部位远离流道进、出口。
若仅考虑x轴方向的流动，由于u,=%=0，前述连续性方程(1-2-64)可简化为
"u#
"x：

图1-2-24平壁间稳态层流示意图现在考虑x轴方向的纳维-斯托克斯方程。由于流体沿x轴方向作稳定流动，则
3u%3u%
!T=0，！X"=0
故 *&x=0
因此，N-S方程式（1-2-90a)可简化为
1!p !#ux、
_cT(X+
p!x
//1{
或
(2A)(2b)
!pv(!2&x!&x\
3x="x”(!7+)
若流道是水平的，x方向上单位质量流体的质量力X=0。又如图1-2-24所示，由于高
度为2y。的流道无限宽，因此，可以认为xx不随流道的宽度z而变，即!x=0。于是式(2b)可进一步简化为
9p92&xax=$!7
(3)
下面再考虑y、z方向的纳维-斯托克斯方程。
对z方向的纳维-斯托克斯方程，由于z方向也是水平的，故该方向上单位质量流体的质量力也等于零，即z=0;由稳态流动的条件或％=0的条件均可推知:!&3=0;由^=0知，含有
3t
uz的各项均应为零，因此，式（1-2-90c)中的
!p.
丄莩=0，或
"!z0
同理，对y方向的分量[式1-2-90b]进行整理可得
远=0
!y0
由式(4)、（5)知，p与y，z无关。于是式(3)中的偏导数可写成常导数的形式，即
dp d2Ux
=$d7
dx_1丄-dy2
4)
5)
由于p=Xx)，■d%不是y的函数，因此可以直接对式(6)进行不定积分。式(6)可改写成
d(dux) 1dp
dy\dy/!dx
将上式分离变量后进行一次不定积分，得
dy!\dx
上式分离变量后进行二次不定积分，得
利用题给边界条件，
Ux_2!
：y0时，=0，得
d#$1(dp)ir
d7=!(dx)y+c&
导
(d$)y2+ciy+*2
2!
(dP)(l0^)
(7)
(8)
(9)
(10)
利用式(10)可求出最大截面流速。对式(10)进行微分，得
dy
丄(dp),Ux厂
令>=0，可得
dy
时
o
--
y
即
00
因此，式(10)又可写成
10/dp\"2m(dx)
x(1-4)
Iy0/
(11)
(12)
可见，粘性流体在两平行平板间稳定流动时，流速呈抛物线分布。
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