初一数学竞赛系列讲座(8) 解一次方程（组）与一次不等式（组）.doc

初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）一、 知识要点1、一元一次方程方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式ax=b(a0)，它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，我们把这一类方程叫做一元一次方程。解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。2、方程ax=b(a、b为常数)的解的情形当a0时，方程ax=b有唯一解当a=0，b=0时，方程ax=b有无数多个解，即方程的解为任何有理数。当a=0，b0时，方程ax=b无解。3、一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”4、不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。定理：若整系数不定方程ax+by=c (a、b互质)有一组整数解为x0，y0，则此方程的全部整数解可表示为：5、一次不等式（组）只含一个未知数，而且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式，它的一般形式是axb或axb，那么bb，bc，那么ac(3) 平移性 如果ab，那么a+cb+c(4) 伸缩性 如果ab，c0，那么acbc 如果ab，c0，那么acbc不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。二、 例题精讲例1 解方程 分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有(x+1)、(x-1)项，因而可将(x+1)、(x-1)看作整体，先进行移项合并，则能化繁为简。解：移项，得合并，得去括号，移项，可解得 x= -5评注：本题是整体处理思想的应用。例2 解关于x的方程 解：原方程整理得：(4m-3)x=4mn-3m 故 当4m-30时，即 当4m-3=0时，即 此时，若 若 综上所述，当； 当； 当评注：含参方程必须对参数进行讨论。例3 解方程组 (1) (2) 分析：第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设k法来解决。 第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z，然后再用三式去分别减可得x、y、z的值。解：(1)设，代入(2)得k=5 x=10，y=15，z=20 原方程组的解为(2) (1)+(2)+(3)得22 (x+y+z)=44，所以x+y+z=2 所以3 (x+y+z)=6 (4) (1)-(4)得13x=4，则x= (2)-(4)得13y=8，则y=(3)-(4)得13z=14，则z=所以原方程组的解为评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。例4 已知关于x，y的二元一次方程 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？分析1：将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，所以只须a的系数x+y-2=0即可。解法1：将方程按a整理得：(x+y-2)a=x-2y-5， 这个关于a的方程有无穷多个解，所以有 由于x、y的值与a的取值无关，所以对于任何的a值，方程组有公共解分析2：分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0，因a取不同的值，所得方程有一个公共解，所以这个公共解就是方程组的解。解法2：令a=1，得：3y+3=0 令a= -2，得：-3x+9=0 解方程组得，则就是所求的公共解。 将x=3，y= -1代入(a-1) x+(a+2) y+5-2a=0得：3 (a-1) -(a+2) +5-2a=0 整理得0a=0，说明无论a取什么值，方程总是成立。评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整理成关于a的形式，通过解与a无关，得出关于x、y的方程组，从而求出公共解。第二种是先探求公共解，再证明这个解与a无关。这两种解法的思路正好相反。例5 求不定方程4x+y=3xy的一切整数解解：由原方程得： x是整数，3y-4=1，2，4，由此得y= 取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0 所以方程的整数解为评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。例6 求方程123x+57y=531的全部正整数解解：方程两边同除以3得：41x+19y=177 所以 x、y是整数，也是整数，取x=2得y=5 方程123x+57y=531的整数解为： 由 因此方程123x+57y=531只有一组整数解评注：本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出整数解，这是求不定方程整数解的一般步骤。例7 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得61分。问：小鸡至少被套中几次？(第四届华杯赛初赛试题)分析：设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次,根据题意得 我们求这个方程组的正整数解。 消去z得：7x+3y=41，于是 则x，从而x的值只能是1，2，3，4，5 由于y是整数，所以2-x必须是3的倍数，x=2，5 当x=2时，y=9，z= -1不是正整数；当x=5时，y=2，z= 3是本题的解。答：小鸡至少被套中5次。例8 解不等式：(1) (2x+1)2-7(x+m)2+3x (x-1) (2) 解：(1) 原不等式可化为：(7-2m) xm2+6 当m0时，解为x 即7-2m 当m= 即7-2m=0，m2+6=时，解为一切实数。 (2) 当x时，原不等式可化为 -x+4+2x-31，解得x0 当时，原不等式可化为-x+4-2x+31，解得x2 所以，原不等式的解为2x4 当x4时，原不等式可化为x-4-2x+31，解得x-2所以，原不等式的解为x4综上所述，原不等式的解集为x0 或x2评注：1、解含参不等式，一定要注意讨论未知数的系数，分大于0、小于0、等于0三种情况讨论。 2、解含绝对值的不等式，常用零点分段法将绝对值去掉再求解。例9 已知m、n为实数，若不等式(2m-n) x+3m-4n0 的解。解：由(2m-n) x+3m-4n0得：(2m-n) x4n-3m， 因为它的解集为，所以有 由(2)得 代入(1)得 m0得 m0 的解集为评注：本题的关键是确定未知数x的系数，从而才能求出不等式的解。方法是首先求出m、n的关系，再代入确定未知数x的系数。例10 已知关于x的方程： ，当m为某些负整数时，方程的解为负整数，试求负整数m的最大值。解：原方程化简整理得： 因为m为负整数，所以必为小于-1的负整数 所以 而要使为负整数，x必是21的倍数，所以x的最大值为-21 因为当x取最大值时，m也取得最大值，所以m的最大值为-3三、 巩固练习选择题1、方程的解是( ) A、2000 B、2001 C、2002 D、20032、关于x的方程的解是负数，则k的值为( )A、k B、k C、k= D、以上解答都不是3、已知xyz0，且，则的值为( ) A、 B、 C、- D、以上答案都不对4、方程组的整数解的个数是( ) A、0 B、3 C、5 D、以上结论都不对。5、如果关于x的不等式同解，则a ( ) A、不存在 B、等于-3 C、等于 D、大于6、若正数x、y、z满足不等式组 则x、y、z的大小关系是( ) A、xyz B、yzx C、zxy D、不能确定填空题7、方程的解为 8、关于x的方程2a (x+5)=3x+1无解，则a= 9、关于x、y的两个方程组和有相同的解，则 a= ，b= 10、不定方程4x+7y=20的整数解是 11、不等式的解集为 12、已知有理数x满足：，若的最小值为a，最大值为b，则ab= 解答题13、解方程 14、解关于x的方程：15、解方程组：16、解方程组：17、某宾馆有大小两种客房，大房间每间能住7人，小房间每间能住4人，现有41人住店，问需大小房间各多少间，刚好使床位数不多也不少？18、求方程组的正整数解。19、解不等式：(1) (2) 20、k为什么数时，方程组的解为正数？