高三理科数学046.doc

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期数 0511 SXG3 046
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇三十三 高三理科数学总复习十
——函数的单调性

【考试大纲的要求】
了解函数的单调性的概念；掌握判断一些简单函数单调性的方法．
【基础知识概要】
1．函数单调性及单调区间
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2, 当 时，都有，那么就说f(x)在这个区间上是增函数；
（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值x1, x2, 当时，都有，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
（3）单调区间：函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
2．函数单调性的判定方法
（1）利用定义可以判断函数在某一区间上是否具有单调性；
（2）由于在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的，所以利用函数的图象能够判断函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；
（3）如果函数在某一区间上可导，且导函数值大于0，则函数在这一区间上是增函数；如果在某一区间上的导函数值小于0，则函数在这一区间上是减函数.
3．单调性的性质：
（1）两个增（减）函数的和仍增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差为减函数．
（2）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性．
（4）如果函数在区间D上是增（减）函数，那么函数在D的任一子区间也是增（减）函数．
（5）如果和单调性相同，那么为增函数；
如果和单调性相反，那么为减函数．

【典型例题解析】
例1 函数（　　）
A．在内单调递增 B．在内单调递减
C．在内单调递增 D．在内单调递减
O
x
y
1
1
解法一：，
∴ 在和上递增．故选C
解法二：函数的图像如图所示
由图象知：函数在上递增．故选C
解法三：因为函数的定义域为，所以排除A，B
对于满足任意实数都有
，
所以，根据增函数的定义得，函数在上递增．故选C
解法四：因为函数的定义域为，所以排除A，B
，∴ 在上递增．故选C
评析：判断函数单调性的常用的方法有：①定义法：即取值——作差——变形——定号——判断．如解法三；②图象法：作出其函数的图象，则图象上升函数递增，图象下降函数递减；③复合函数法：“同增异减”，即当内外函数单调性相同，其复合函数为增函数，当内外函数单调性相反，其复合函数为减函数；④导数法：如果函数在某一区间上可导，且导函数值大于0，则函数在这一区间上是增函数；如果在某一区间上的导函数值小于0，则函数在这一区间上是减函数.
例2 设a＞0，是R上的偶函数.
（1）求a的值；
（2）证明f(x)在内是增函数.
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，又a＞0，∴a=1.
（2）由（1）知，，
对于任意的，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴f(x)在上是增函数.
说明: 对于第（2）问，也可以利用导函数证明f(x)在上是增函数.
例3已知函数在上是减函数，求的取值范围．
解：函数f(x)的导数：
（Ⅰ）当（）时，是减函数.

所以，当是减函数；
（II）当时，=
由函数在R上的单调性，可知
当时，）是减函数；
（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有
所以，当时，函数不是减函数.
综上，所求的取值范围是（
例4 设f(x)的定义域为，且在内为增函数，.
（1）求证：；
（2）设f(2)=1，解不等式.
（1）证明：取x=y=1得f(1)=f(1)－f(1), ∴f(1)=0，
对于x＞0, y＞0，有，
∴；
（2）解：∵f(a)=1，
∴，
原不等式转化为，
∴
解得3＜x≤4，
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．若区间(a,b)内，有，且，则在(a,b)内有（ ）
A． B．
C． D．不确定
2．函数在区间内是减函数，则a,b应满足（ ）
A． B．R
C． D．R
3．函数的递增区间是（ ）
A． B．
C．(－1,1) D．
4．已知, 则（ ）
A．在(－2,0)上递增 B．在(0,2)上递增
C．在上递增 D．在上递增
5．某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．函数在[－2,2]上的最大值与最小值分别为______, ________.
7．若函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是_________.
同步检测[※※级]
一、选择题
1．函数是单调函数的充要条件是（ ）
A．b≥0 B．b≤0
C．b＞0 D．b＜0
2．下列函数中是奇函数，且在是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，如果，那么g(x)（ ）
A．在(－1,0)内是减函数 B．在(0,1)内是减函数
C．在(－2,0)内是增函数 D．在(0,2)内是增函数
5．函数R，下列命题正确的是（ ）
A．若x在和上是增函数，则f(x)是增函数
B．若x在和上是减函数，则f(x)是减函数
C．若f(x)是偶函数，在上是增函数，则f(x)在上也是增函数
D．若f(x)是奇函数，在上是增函数，则f(x)在上也是增函数
二、填空题
6．已知偶函数f(x)在[0,2]上单调递减，若a=f(－1)，，则a，b，c之间的大小关系是________.
7．已知奇函数y=f(x)是定义在(－2,2)内的减函数，若，则实数m的取值范围是_________.
三、解答题
8．设(a为常数)，如果当x≤1时，f(x)有意义，求a的取值范围.
9．设常数a＞0，求函数的单调区间.
参考答案
同步落实[※级]
一、1．A 2．D 3．C 4．C 5．C
二、6．13；4 7．
同步检测[※※级]
一、1．A 2．B 3．D 4．A 5．D
二、6．b＜a＜c 7．
三、8．解：由已知，当x≤1时，，
∴，即，
∵函数和在上都是增函数，
∴在上递增，
∴当x=1时，函数有最大值，故.
9．解：，
当a＞0, x＞0时，;
.
讨论：（1）当a＞1时，对于所有x＞0，都有，
则，∴，
因此，f(x)在上是增函数.
（2）当a=1时，，
当x≠1时，，∴f(x)在(0,1)和上递增，
又f(x)在x=1处连续，∴f(x)在上是增函数.
（3）当0＜a＜1时，令，得，
∴或，
令，得，∴，
此时，f(x)在和上是增函数，
在上是减函数.