四川省成都实验外国语学校2013届高三上学期12月月考数学文试题.doc

四川省成都实验外国语学校2013届高三上学期月考 数学文试题
试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120 分钟。
注意事项：
1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；
5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

第Ｉ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．已知向量，，且//，则等于
A． B．2 C． D．
3．“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.命题P：若x,y∈R.则｜x｜+ ｜y｜＞1是｜x+y｜ >1的充分而不必要条件；
命题q ：函数y=的定义域是（一∞，一1］U［3，＋∞），则
A. “pVq”为假 　　B.“pq”为真 C. “”为真 　D.“”为真
5．已知函数，则
A．函数的周期为 B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称
6．已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：
①若∥，则；②若，则∥；
③若，则∥；④若∥，则．其中真命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为，则函数在上为增函数的概率是（ ）
A． B． C． D．
x
－1
0
2
3
4
f(x)
1
2
0
2
0
x
y
2
3
－1
O
4
8.已知函数f(x)的定义域为［－1,4］，部分对应值如下表，f(x)的导函数的图象如上右图所示。

当1＜a<2时，函数y=f(x)－a的零点的个数为（ ）
A.2　　 B.3　　　 C.4　　 D.5
9．已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为
A．5 B．4 C．3 D．2
10．设是正三棱锥的底面⊿的中心，过的动平面与交于，与、的延长线分别交于、，则( )
A、有最大值而无最小值 B、有最小值而无最大值
C、无最大值也无最小值 D、是与平面无关的常数

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题纸的相应位置上。）

11．输入x=2，运行右图的程序输出的结果为 。

12．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ．
13.已知实数x,y满足，则z=2|x|+y的取值范围是_________
14.若不等式上恒成立，则实数a的取值范围为_
15．由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：
①第二列中的必成等比数列； ②第一列中的不一定成等比数列；
③； ④若9个数之和大于81，则 >9．
其中正确的序号有 ．（填写所有正确结论的序号）．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分。）
16．（本题满分12分）
已知向量，设函数＋
（1）若，f(x)=,求的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求f(B)的取值范围．
17．（本题满分12分）
2013年春晚歌舞类节目成为春晚顶梁柱，尤其是不少创意组合都被网友称赞很有新意。王力宏和李云迪的钢琴PK，加上背景板的黑白键盘，更被网友称赞是行云流水的感觉。某网站从2012年11月23号到11月30做了持续一周的在线调查，共有n人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示。
序号
年龄分组
组中值
频数（人数）
频率（f）
1
[20,25)
22.5
x
s
2
[25,30)
27.5
800
t
3
[30,35)
32.5
y
0.40
4
[35,40)
37.5
1600
0.32
5
[40,45)
42.5
z
0.04
开始始
取2名代表中恰有1人年龄在[25,30）岁的概率。
始
S=0
i=1

结束

输入

是

输出s

i=i+1
否
（2） 求n及表中x,y,z,s,t的值
（3） 为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算，分析其中一部分计算，见算法流程图，求输出的S值，并说
明S的统计意义。
（3）从年龄在[20,30）岁人群中采用分层抽样法抽取6人参加元宵晚会活动，其中选取2人作为代表发言，求选其中恰有1人在年龄[25,30)岁的代表概率。

18．（本小题满分12分）
如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA^CD，PA = 1，
PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．
（Ⅰ）求证：PA ^平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？
若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

19 （本小题满分12分）
函数， .
（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值；
（Ⅱ）如果函数在区间上存在零点，求的取值范围.

20．（本小题满分13分）
已知数列满足，（）。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的前n项和；
（Ⅲ）设，数列的前n项和，求证：对。

21．（本小题满分14分）[来源:高[考∴试﹤题∴库]
已知函数，且，．
（1）求、的值；
（2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求 的最小值，并求此时点的坐标；
（3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

题及答案

一．选择题（每小题5分，共50分）
1．设集合，，则B
A． B． C． D．
2．已知向量，，且//，则等于A
A． B．2 C． D．
3．“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的B
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.命题P：若x,y∈R.则Ixl + lyl＞1是Ix+yl >1的充分而不必要条件；
命题q ：函数y=的定义域是（一∞，一1］U［3，＋∞），则D
A. "pVq"为假 　　B. "pq"为真
C. “”为真 　D.“”为真
5．已知函数，则C
A．函数的周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象关于点对称
6．已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：
①若∥，则；②若，则∥；
③若，则∥；④若∥，则．
其中真命题的个数为B
A．1 B．2 C．3 D．4
7．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为，则函数在上为增函数的概率是（ B ）
A． B． C． D．
x
－1
0
2
3
4
f(x)
1
2
0
2
0
x
y
2
3
－1
O
4
8.已知函数f(x)的定义域为［－1,4］，部分对应值如下表，f(x)的导函数的图象如上右图所示。

当1＜a<2时，函数y=f(x)－a的零点的个数为（ C）
A.2　　 B.3　　　 C.4　　 D.5
9．已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为B
A．5 B．4 C．3 D．2
10．设是正三棱锥的底面⊿的中心，过的动平面与交于，与、的延长线分别交于、，则(D )
A、有最大值而无最小值 B、有最小值而无最大值
C、无最大值也无最小值 D、是与平面无关的常数

二．填空题（每小题5分，共25分）
11．输入x=2，运行下面的程序输出的结果为 1 。

（理科）12．若展开式的常数项为60，则常数的值为 4 ．
（文科）12．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ▲ ．

13.已知实数x,y满足，则z=2|x|+y的取值范围是____[-1,1]_____
14.若不等式上恒成立，则实数a的取值范围为_
15．由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：
①第二列中的必成等比数列；
②第一列中的不一定成等比数列；
③；
④若9个数之和大于81，则 >9．
其中正确的序号有 ①②③ ．（填写所有正确结论的序号）．

三．简答题
16．（本题满分12分）
已知向量，设函数＋
（1）若，f(x)=,求的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求f(B)的取值范围．

18、解：（1）依题意得，………………………………2分
由得：，，
从而可得，………………………………4分
则……6分

（2）由得：，从而，……………………10分
故f(B)=sin()　………………………………12分
17．（理科）（本小题满分12分）
某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

根据上表：
（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望。
17、解（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，
则………………………………………………………4分
（II）的可能值得为0，1，2，3，4，5

……………………………………………………………9分
所以随机变量的分布列如下：

0
1
2
3
4
5

故………………………12分

17．（文科）（本题满分13分）
2013年春晚歌舞类节目成为春晚顶梁柱，尤其是不少创意组合都被网友称赞很有新意。王力宏和李云迪的钢琴PK，加上背景板的黑白键盘，更被网友称赞是行云流水的感觉。某网站从2012年11月23号到11月30做了持续一周的在线调查，共有n人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示。
序号
年龄分组
组中值
频数（人数）
频率（f）
1
[20,25)
22.5
x
s
2
[25,30)
27.5
800
t
3
[30,35)
32.5
y
0.40
4
[35,40)
37.5
1600
0.32
5
[40,45)
42.5
z
0.04
（4） 求n及表中x,y,z,s,t的值
（5） 为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算，分析其中一部分计算，见算法流程图，求输出的S值，并说
明S的统计意义。
开
取2名代表中恰有1人年龄在[25,30）岁的概率。
始
S=0
i=1

结束

输入

是

输出s

i=i+1
否
（3）从年龄在[20,30）岁人群中采用分层抽样法抽取6人参加元宵晚会活动，其中选取2人作为代表发言，求选

17、解：（1）依题意则有n==5000,x=5000-(800+2000+1600+200)=400,y=5000×0.40=2000,z=5000×0.04=200,s==0.08,t==0.16……………………4分
(2)依题意则有S＝22.5×0.08+27.5×0.16+32.5×0.40+37.5×0.32+42.5×0.04=32.9; ………………………………5分
S的统计意义即是指参加调查者的平均年龄。………………………………6分
（3）∵[20,25)年龄段与[25,30)年龄段人数的比值为，………………8分
∴采用分层抽样法抽取6人中年龄在[20,25)岁的有2人，年龄在[25,30)岁的有4人，设在[25,30)岁的4人分别为a,b,c,d,在[20,25)岁中的2人为m,n；选取2人作为代表发言的所有可能情况为（a,b）,(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),
(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)共有15种，其中恰有1人在年龄[25,30)岁的代表有（a,m）,(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n)共8种，………………………………12分
故概率………………………………13分
18．（本小题满分12分）
如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA^CD，PA = 1，
PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．
（Ⅰ）求证：PA ^平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？
若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
18、解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 ,
PA2 + AD2 = PD2, 即：PA ^ AD ---2分
又PA ^ CD , AD , CD 相交于点D,
PA ^ 平面ABCD -------4分
（Ⅱ）过E作EG//PA 交AD于G，
从而EG ^ 平面ABCD，
且AG = 2GD , EG = PA = , ------5分
连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ，交AC于H，
连接EH．GH ^ AC , EH ^ AC ,
Ð EHG为二面角D—AC―E的平面角． -----6分
tanÐEHG = = ．二面角D—AC―E的平面角的余弦值为-------8分
（Ⅲ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ,）, = （1,1,0）,
= （0 , , ） ---9分
设平面AEC的法向量= （x, y,z） , 则
，即：， 令y = 1 ,
则 = （- 1,1, - 2 ） -------------10分
假设侧棱PC上存在一点F, 且＝ ，
（0 £ £ 1）, 使得：BF//平面AEC, 则× ＝ 0．
又因为：＝ + ＝ （0 ，1，0）+ （-,-,）= （-,1-,）,
× ＝+ 1- - 2 = 0 , = ,
所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC． ----------------12分
19 （本小题满分12分）函数， .
（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值；
（Ⅱ）如果函数在区间上存在零点，求的取值范围.
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，则
．
因为，所以时，． …………………………3分
（Ⅱ）当时， ,显然在上有零点, 所以时成立.……4分
当时，令,
解得． ………………………………………5分
（1） 当时,
由，得；
当 时,．
由，得，
所以当 时, 均恰有一个零点在上.………………7分
（2）当，即时，
在上必有零点. ………………………………………9分
（3）若在上有两个零点, 则
或 …………………13分
解得或．
综上所述，函数在区间上存在极值点，实数的取值范围是
或. ………………………………………14分

20．（本小题满分13分）
已知数列满足，（）。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的前n项和；
（Ⅲ）设，数列的前n项和，求证：对。

20、解：（Ⅰ）∵，∴，
又∵，∴数列是首项为3，公比为-2的等比数列，
=，即。………………………………4分
（Ⅱ），
==。………8分
（Ⅲ）∵=，∴，
当n≥3时，=
=
=,……………12分
又∵，∴对。……………………………13分

21（理科）．(本小题满分14分)已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
（2）记函数的图像为曲线.设点是曲线上不同两点. 如果在曲线上存在点使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”.
试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

函数在和上单调递增 。。。。。。。。。。。6分
综上所述:⑴当时,函数在上单调递增
⑵当时,函数在和上单调递增
⑶当时,函数在上单调递增；
⑷当时,函数在和上单调递增 ………….7分

依题意得：.
化简可得： ， 即=. ….11分
设 ()，上式化为：,.
令,.因为,显然，所以在
21(文科)．（本小题满分14分）
已知函数，且，．
（1）求、的值；
（2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求 的最小值，并求此时点的坐标；
（3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
21． 解：（1）由，得，
解得：． 3分
（2）由（1），
所以，
令，，
则

因为，所以，
所以，当，
所以， 8分
即的最小值是，此时，
点的坐标是。 9分
（3）问题即为对恒成立，
也就是对恒成立， 10分
要使问题有意义，或．
法一：在或下，问题化为对恒成立，
即对恒成立，
对恒成立，
①当时，或，
②当时，且对恒成立，
对于对恒成立，等价于，
令，，则，，
，递增，
，，结合或，
对于对恒成立，等价于
令，，则，，
，递减，
，，，
综上： 16分
法二：问题即为对恒成立，
也就是对恒成立， 10分
要使问题有意义，或．
故问题转化为对恒成立，
令
①若时，由于，故，
在时单调递增，依题意，，舍去；
②若，由于，故，
考虑到，再分两种情形：
（ⅰ），即，的最大值是，
依题意，即，；
（ⅱ），即，在时单调递增，
故，，，舍去。
综上可得， 16分

19