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二次函数
二次函数这一章在初中数学中占有重要地位，同时也是高中数学学习的基础.作为初高中衔接的内容，二次函数在中考命题中一直是“重头戏”，根据对近几年中考试卷的分析，预计2010年中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题，中高档的解答题，分值一般为9～15分，除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外，还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题，阅读理解题和探究题，二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大.
知识梳理：
练习：
1.抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
2.要得到二次函数的图象，需将的图象（ ）．
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
答案：1.A 2.D
最新考题
1.(2009年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
2.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A． B．
C． D．
答案：1.A 2.B
知识点2：二次函数的图形与性质
例1：如图1所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴.

第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是 .
　第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.
例2：抛物线y=－x2+（m－1）x+m与y轴交于（0，3）点，（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方?（4）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？
思路点拨：由已知点（0，3）代入y=－x2+（m－1）x+m即可求得m的值，即可知道二次函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（3）（4）.
　解：（1）由题意将（0，3）代入解析式可得m=3，
　　∴ 抛物线为y=－x2+2x+3.
　　图象（图2）：

　　（2）令y=0，则－x2+2x+3=0，得x1=－1，x2=3；
　　∴ 抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）.
　　∵ y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，
　　∴ 抛物线顶点坐标为（1，4）；
　　（3）由图象可知：当－1<x<3时，抛物线在x轴上方；
　　（4）由图象可知：当x>1时，y的值随x值的增大而减小.
练习：
1.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．

2.函数y =ax＋1与y =ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A B C 　　　D

答案：1.B 2.C
最新考题
1.（2009深圳）二次函数的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）
A． B． C． D．不能确定
2.（2009北京）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=，DE=，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是（ ）

3.（2009年台州）已知二次函数的与的部分对应值如下表：

…

0
1
3
…

…

1
3
1
…
则下列判断中正确的是（　　）
A．抛物线开口向上　　　　　　 B．抛物线与轴交于负半轴
C．当＝4时，＞0 D．方程的正根在3与4之间
答案：1.C 2.A 3.D
知识点3：二次函数的应用
例1：如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度
h

（单位：米）与小球运动时间（单位：秒）的函数关系式是
，那么小球运动中的最大高度 ．
随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．

思路点拨：观察函数图像得：图像关于对称，
当因为x=2到对称轴的距离
与x=6到对称轴的距离相等。
所以，当
练习：
1.出售某种文具盒，若每个获利元，一天可售出个，则当 元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．
2.如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20cm，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10cm.
　　（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥桥顶？

　答案：1. 3 ；2.解：（1）设所求抛物线解析式为y=ax2，设D（5，b），则B（10，b－3），

　　∴ y=；

最新考题
1.（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（ ）
A． 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒
2.(2009年河北)某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s
答案：1. B 2. C

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一、选择题
1．抛物线y=－2(x－1)2－3与y轴的交点纵坐标为（　　）
（A）－3 （B）－4 （C）－5　　（Ｄ）－1
2．将抛物线y=3x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（　　）
(A) y=3(x+2)2+4 (B) y=3(x－2)2+4 (C) y=3(x－2)2－4 (D)y=3(x+2)2－4
3．抛物线y =x2，y =－3x2，y =x2的图象开口最大的是（　　）
(A) y =x2 (B)y =－3x2 (C)y =x2 (D)无法确定
4．二次函数y =x2－8x+c的最小值是0，那么c的值等于（　　）
(A)4 　　 (B)8 　　(C)－4 　　(D)16
5．抛物线y=－2x2+4x+3的顶点坐标是（　　）
(A)(－1，－5) 　　 (B)(1，－5) 　　(C)(－1，－4) 　　(D) (－2，－7)
6．过点(1，0)，B(3，0)，C(－1，2)三点的抛物线的顶点坐标是（　　）
(A)(1，2) 　　（B）(1，)　　 (C) (－1，5) 　　 (D)(2，)
7． 若二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（　　）
（A）a+c    （B）a－c    （C）－c    （D）c
8． 在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为（　　）
(A)2秒　　　(B)　4秒　　(C)6秒　　(D)　8秒
9．如图2，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH， 设小正方形EFGH的面积为，AE为，则关于的函数图象大致是（　　）
图2

（A） （B） （C） （D）
10．抛物线y=ax2+bx+c的图角如图3，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>；
④b<1．其中正确的结论是（　　）
（A）①②   （B）②③   （C）②④   （D）③④

二、填空题
1．已知函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数的最大值为4，当x=0时，y=－14，则函数关系式____．
2．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 ．
3．函数的图象与轴的交点坐标是________．
4．抛物线y= ( x – 1)2 – 7的对称轴是直线 ．
5．二次函数y=2x2－x－3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________．
6．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_______．
7．用配方法把二次函数y=2x2+2x－5化成y=a(x－h)2+k的形式为___________．
8．抛物线y=(m－4)x2－2mx－m－6的顶点在x轴上，则m=______．
9．若函数y=a(x－h)2+k的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y=－2x2－2x+3相同，则此函数关系式______．
10．如图1，直角坐标系中一条抛物线经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为，则该抛物线的关系式__________．

三、解答题
21． 已知一次函的图象过点（0，5）
⑴ 求m的值，并写出二次函数的关系式；
⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
22．已知抛物线 经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．
⑴求这条抛物线的表达式；
⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．

23．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如右图所示）．
⑴请你直接写出O、A、M三点的坐标；
⑵一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面同一平面）？

24． 甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：
速度x（千米/小时）
0
5
10
15
20
25
…
刹车距离y（米）
0

2

6

…
（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在右图所示的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）．
（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向速度x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式．
而行，同时刹车，但还是相撞了．事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数，请你就两车的速度方面分析相撞的原因．

25． 某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．
（1）求y的解析式；
（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？

参考答案
一、1－5 CCADB 6－10 DDBBB．
(2)顶点坐标是(－3，－4)，对称轴是直线x=－3．
22．由已知，得解得a=1，b=－2，c=－3．
所以y=x2－2x－3．
(2)开口向上，对称轴x=1，顶点(1，－4)．
23． 解：(1)0(0，0)，A(6，0)，M(3，3)．

(2)设抛物线的关系式为y=a(x－3)2+3，因为抛物线过点(0，0)，所以0=a(0－3)2+3，解得a=－，所以y=－(x－3)2+3=－x2+2x，
要使木版堆放最高，依据题意，得B点应是木版宽CD的中点，把x=2代入y=－x2+2x，得y=，所以这些木版最高可堆放米．
24． 解：（1）如图，
设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c．
因为图象经过点（0，0）、（10，2）、（20，6），
所以c＝0．

（2）因为y＝12，所以＝12，
解得x1＝30，x2＝－40（不符合题意，舍去）
又因为y乙＝10.5，所以，x＝42．
因为乙车速度为42千米/时，大于40千米/时，
所以，就速度方面原因，乙车超速，导致两车相撞．
25．（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6，分别代入y=ax2+bx，得a+b=2，
　　4a+2b=6，解得，a=1，b=1，所以y=x2+x．
　　（2）设G＝33x－100－x2－x，则G=－x2+32x－100=－(x－16)2+156．
由于当1≤x≤16时，G随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资．

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