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“操作类问题”练习
1. 如图,已知∠α,∠β,用直尺和圆规求作一个∠γ,使得
(只须作出正确图形,保留作图痕迹,不必写出作法)
2.请阅读下列材料:
问题:现有5个边长为1的正方形,排列形式如图1,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
小东同学的做法是:设新正方形的边长为.依题意,割补前后图形的面积相等,有,解得.由此可知新正方形的边长等于两个正方形组
图1
图2
图3
成的矩形对角线的长.于是,画出如图2所示的分割线,拼出如图3所示的新正方形.
请你参考小东同学的做法,解决如下问题:
现有10个边长为1的正方形,排列形式如图4,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:在图4中画出分割线,并在图5的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
图4
图5
说明:直接画出图形,不要求写分析过程.
解:
图-1
C
D
B
E
M
A
P
P
3. (大连课改)如图-1,为所在平面内任意一点(不在直线上),,为边中点.
操作:以为邻边作平行四边形,连结并延长到点,使,连结.
探究:(1)请猜想与线段有关的三个结论;
(2)请你利用图14-2,图14-3选择不同位置的点按上述方法操作;
(3)经历(2)之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;如果你认为你写的结论是错误的,请用图14-2或图14-3加以说明;(注意:错误的结论,只要你用反例给予说明也得分)
(4)若将“”改为“任意”,其他条件不变,利用图14-4操作,并写出与线段有关的结论(直接写答案).
C
B
M
A
M
A
C
B
C
B
M
A
图-2
图-3
图-4
A
B
C
E
F
G
图-2
D
A
B
C
D
E
F
G
图-3
A
B
C
F
G
图-1
4. 在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图-1中请你通过观察、测量BF与CG的
长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,
然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图-2所示的位置时,
一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条
直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于
点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG
的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足
的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平
移到图-3所示的位置(点F在线段AC上,
且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想是否
仍然成立?(不用说明理由)
5.两个全等的和如图放置,点在同一条直线上.
操作:在图中,作的平分线,过点作,垂足为,连结.
探究:线段的关系,并证明你的结论.
说明:如果你无法证明探究所得的结论,可以将“两个全等的和”改为“两个全等的等腰直角和等腰直角(点在同一条直线上)”,其他条件不变,完成你的证明,此证明过程最多得2分.
C
B
A
E
D
参考答案:
1. 答:作图如下, 即为所求作的.
2. 图4
图5
解:所画图形如图所示.
3. 解:(1),.
C
D
A
P
M
E
B
图2
C
D
B
E
M
A
P
图1
(2)如图1,如图2.
C
D
B
E
M
A
P
P
图3
(3)如图3,连结,
,
.
.
,.
,
四边形是平行四边形.
.
C
D
B
E
M
A
P
P
图4
.
(4)如图4,,.
4.解答:
(1)BF=CG;
证明:在△ABF和△ACG中,
A
B
C
E
F
G
图
H
D
∵∠F=∠G=90°,∠FAB=∠GAC,AB=AC,
∴△ABF≌△ACG(AAS),
∴BF=CG.
(2)DE+DF=CG;
证明:过点D作DH⊥CG于点H(如图).
∵DE⊥BA于点E,∠G=90°,DH⊥CG,
∴四边形EDHG为矩形,∴DE=HG,DH∥BG.∴∠GBC=∠HDC.
∵AB=AC,∴∠FCD=∠GBC=∠HDC.又∵∠F=∠DHC=90°,CD=DC,
∴△FDC≌△HCD(AAS),∴DF=CH.
∴GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG.
(3)仍然成立.
5.C
B
A
E
D
①
F
解:操作如图①,
结论:,.
证明:如图②,设交于点,交于点.
,
,,.
,.
,,
,,
C
B
A
E
D
②
G
M
N
1
5
3
2
4
F
.
.
.
又平分,,.
过点作,垂足为.
,
..
,,,,
四边形为矩形.
.
又平分,,,
,,.
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