高等数学教案ch_11__无穷级数.doc

第十一章 无穷级数

教学目的：
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点 ：
1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；
3、交错级数的莱布尼茨判别法；
4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；
5、，和的麦克劳林展开式；
6、傅里叶级数。
教学难点：
1、 比较判别法的极限形式；
2、 莱布尼茨判别法；
3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；
4、 函数项级数的收敛域及和函数；
5、 泰勒级数；
6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11. 1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项级数: 给定一个数列
u1, u2, u3, × × ×, un, × × ×,
则由这数列构成的表达式
u1 + u2 + u3 + × × ×+ un + × × ×
叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为,
即 , 其中第n项u n 叫做级数的一般项.
级数的部分和: 作级数的前n项和
称为级数的部分和.
级数敛散性定义: 如果级数的部分和数列有极限s, 即,
则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和,
并写成
;
如果没有极限, 则称无穷级数发散.
余项: 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值
rn=s-sn=un+1+un+2+ × × ×叫做级数的余项.
例1 讨论等比级数(几何级数)

的敛散性, 其中a¹0, q叫做级数的公比.
解 如果q¹1, 则部分和
.
当|q|<1时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为.
当|q|>1时, 因为, 所以此时级数发散.
如果|q|=1, 则当q=1时, sn =na®¥, 因此级数发散;
当q=-1时, 级数成为
a-a+a-a+ × × ×,
时|q|=1时, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零,
所以sn的极限不存在, 从而这时级数也发散.
综上所述, 如果|q|<1, 则级数收敛, 其和为; 如果|q|³1, 则级数发散.
仅当|q|<1时, 几何级数a¹0)收敛, 其和为.
例2 证明级数 1+2+3+× × ×+n+× × × 是发散的.
证 此级数的部分和为
.
显然, , 因此所给级数是发散的.
例3 判别无穷级数 的收敛性.
解 由于
,
因此

从而
,
所以这级数收敛, 它的和是1.
二、收敛级数的基本性质
性质1 如果级数收敛于和s, 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛, 且其和为ks. (如果级数收敛于和s, 则级数也收敛, 且其和为ks. )
这是因为, 设与的部分和分别为sn与sn, 则
.
这表明级数收敛, 且和为ks.
性质2 如果级数、分别收敛于和s、s, 则级数也收敛, 且其和为s±s.
这是因为, 如果、、的部分和分别为sn、sn、tn, 则

.
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.
比如, 级数是收敛的,
级数也是收敛的,
级数也是收敛的.
性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.
应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数
(1-1)+(1-1) +× × ×收敛于零, 但级数1-1+1-1+× × ×却是发散的.
推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.
级数收敛的必要条件:
性质5 如果收敛, 则它的一般项un 趋于零, 即.
（性质5的等价命题：若，则级数发散 ）
证 设级数的部分和为sn, 且, 则
.
应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.
例4 证明调和级数
是发散的.
证 假若级数收敛且其和为s, sn是它的部分和.
显然有及. 于是.
但另一方面,
,
故, 矛盾. 这矛盾说明级数必定发散.

§11. 2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.
定理1 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界.
定理2(比较审敛法)设和都是正项级数, 且un£vn (n=1, 2, × × × ). 若级数收敛, 则级数收敛; 反之, 若级数发散, 则级数发散.
证 设级数收敛于和s, 则级数的部分和
sn=u1+u2+ × × × +un£v1+ v2+ × × × +vn£s (n=1, 2, × × ×),
即部分和数列{sn}有界, 由定理1知级数收敛.
反之, 设级数发散, 则级数必发散. 因为若级数
收敛, 由上已证明的结论, 将有级数也收敛, 与假设矛盾.
推论 设和都是正项级数, 如果级数收敛, 且存在自然数N, 使当n³N时有un£kvn(k>0)成立, 则级数收敛; 如果级数发散, 且当n³N时有un³kvn(k>0)成立, 则级数发散.
例1 讨论p-级数

的收敛性, 其中常数p>0.
解 设p£1. 这时, 而调和级数发散, 由比较审敛法知, 当p£1时级数发散.
设p>1. 此时有
(n=2, 3, × × ×).
对于级数, 其部分和
.
因为.
所以级数收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数当p>1时收敛.
综上所述, p-级数当p>1时收敛, 当p£1时发散.
例2 证明级数是发散的.
证 因为,
而级数是发散的,
根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.
定理3 (比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数,
(1)如果(0£l<+¥), 且级数收敛, 则级数收敛;
(2)如果, 且级数发散, 则级数发散.
例3 判别级数的收敛性.
解 因为, 而级数发散,
根据比较审敛法的极限形式, 级数发散.
例4 判别级数的收敛性.
解 因为, 而级数收敛,
根据比较审敛法的极限形式, 级数收敛.
定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设为正项级数, 如果
,
则当r<1时级数收敛; 当r>1(或)时级数发散; 当r =1时级数可能收敛也可能发散.
例5 证明级数
是收敛的.
解 因为,
根据比值审敛法可知所给级数收敛.
例6 判别级数的收敛性.
解 因为,
根据比值审敛法可知所给级数发散.
例7 判别级数的收敛性.
解 .
这时r=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.
因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.
定理5 (根值审敛法, 柯西判别法)
设是正项级数, 如果它的一般项un的n次根的极限等于r:
,
则当r<1时级数收敛; 当r>1(或)时级数发散; 当r=1时级数可能收敛也可能发散.
例8 证明级数是收敛的.
并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差.
解 因为,
所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.
以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为

+
.
例6判定级数的收敛性.
解 因为
,
所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛.
定理6 (极限审敛法) 设为正项级数,
(1)如果, 则级数发散;
(2)如果p>1, 而, 则级数收敛.
例7 判定级数的收敛性.
解 因为, 故
,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
例8 判定级数的收敛性.
解 因为
,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.

二、交错级数及其审敛法
交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的.
交错级数的一般形式为, 其中.
例如, 是交错级数, 但不是交错级数.
定理6（莱布尼茨定理）
如果交错级数满足条件:
(1)un³un+1 (n=1, 2, 3, × × ×); (2),
则级数收敛, 且其和s£u1, 其余项rn的绝对值|rn|£un+1.
简要证明: 设前n项部分和为sn.
由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ × × × +(u2n 1-u2n), 及
s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ × × × +(u2n-2-u2n-1)-u2n
看出数列{s2n}单调增加且有界(s2n<u1), 所以收敛.
设s2n®s(n®¥), 则也有s2n+1=s2n+u2n+1®s(n®¥), 所以sn®s(n®¥). 从而级数是收敛的, 且sn<u1.
因为 |rn|=un+1-un+2+× × ×也是收敛的交错级数, 所以|rn|£un+1.
例9 证明级数收敛, 并估计和及余项.
证 这是一个交错级数. 因为此级数满足
(1)(n=1, 2,× × ×), (2),
由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s<u1=1, 余项.
三、绝对收敛与条件收敛:
绝对收敛与条件收敛:
若级数收敛, 则称级数绝对收敛; 若级数
收敛, 而级数发散, 则称级条件收敛.
例10 级数是绝对收敛的, 而级数是条件收敛的.
定理7 如果级数绝对收敛, 则级数必定收敛.
值得注意的问题:
如果级数发散, 我们不能断定级数也发散.
但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数发散,
则我们可以断定级数必定发散.
这是因为, 此时|un|不趋向于零, 从而un也不趋向于零, 因此级数也是发散的.
例11 判别级数的收敛性.
解 因为|, 而级数是收敛的,
所以级数也收敛, 从而级数绝对收敛.
例12 判别级数的收敛性.
解: 由, 有,
可知, 因此级数发散.

§ 11. 3 幂级数

一、函数项级数的概念
函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{un(x)}, 由这函数列构成的表达式
u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x)+ × × ×
称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为.
收敛点与发散点:
对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数收敛, 则称
点x0是级数的收敛点. 若常数项级数发散, 则称
点x0是级数的发散点.
收敛域与发散域:
函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所
有发散点的全体称为它的发散域.
和函数:
在收敛域上, 函数项级数的和是x的函数s(x),
s(x)称为函数项级数的和函数, 并写成.
∑un(x)是的简便记法, 以下不再重述.
在收敛域上, 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),
s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数, 并写成s(x)=∑un(x).
这函数的定义就是级数的收敛域,
部分和:
函数项级数的前n项的部分和记作sn(x),
函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x), 即
sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x).
在收敛域上有或sn(x)®s(x)(n®¥) .
余项:
函数项级数的和函数s(x)与部分和sn(x)的差
rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函数项级数的余项.
函数项级数∑un(x)的余项记为rn (x), 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x).
在收敛域上有.
二、幂级数及其收敛性
幂级数:
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数
项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是
a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn+ × × × ,
其中常数a0, a1, a2, × × × , an , × × ×叫做幂级数的系数.
幂级数的例子:
1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × ,
.
注: 幂级数的一般形式是
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × ,
经变换t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ × × × +antn+ × × × .
幂级数
1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × ×
可以看成是公比为x的几何级数. 当|x|<1时它是收敛的; 当|x|³1时, 它是发散的. 因此它的收敛
域为(-1, 1), 在收敛域内有
.
定理1 (阿贝尔定理) 如果级数当x=x0 (x0¹0)时收敛, 则适合不等式
|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数当
x=x0时发散, 则适合不等式|x|>|x0|的一切x使这幂级数发散.
证 先设x0是幂级数的收敛点, 即级数收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有, 于是存在一个常数M, 使
| anx0n |£M(n=0, 1, 2, × × ×).
这样级数的的一般项的绝对值
.
因为当|x|<|x0|时, 等比级数收敛, 所以级数收敛, 也就是级数绝对收敛.
定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.
推论 如果级数不是仅在点x=0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得
当|x|<R时, 幂级数绝对收敛;
当|x|>R时, 幂级数发散;
当x=R与x=-R时, 幂级数可能收敛也可能发散.
收敛半径与收敛区间: 正数通常叫做幂级数的收敛半径. 开区间(-R, R)叫做幂级数的收敛区间. 再由幂级数在x=±R处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数的收敛域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一.
规定: 若幂级数只在x=0收敛, 则规定收敛半径R=0 , 若幂级数对一切x都收敛, 则规定收敛半径R=+¥, 这时收敛域为(-¥, +¥).
定理2
如果, 其中an、an+1是幂级数的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径
.
简要证明: .
(1)如果0<r<+¥, 则只当r|x|<1时幂级数收敛, 故.
(2)如果r=0, 则幂级数总是收敛的, 故R=+¥.
(3)如果r=+¥, 则只当x=0时幂级数收敛, 故R=0.
例1 求幂级数

的收敛半径与收敛域.
解 因为,
所以收敛半径为.
当x=1时, 幂级数成为, 是收敛的;
当x=-1时, 幂级数成为, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].
例2 求幂级数

的收敛域.
解 因为,
所以收敛半径为R=+¥, 从而收敛域为(-¥, +¥).
例3 求幂级数的收敛半径.
解 因为
,
所以收敛半径为R=0, 即级数仅在x=0处收敛.
例4 求幂级数的收敛半径.
解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:
幂级数的一般项记为.
因为 ,
当4|x|2<1即时级数收敛; 当4|x|2>1即时级数发散, 所以收敛半径为.
提示: .
例5 求幂级数的收敛域.
解 令t=x-1, 上述级数变为.
因为 ,
所以收敛半径R=2.
当t=2时, 级数成为, 此级数发散; 当t=-2时, 级数成为, 此级数收敛. 因此级数的收敛域为-2£t<2. 因为-2£x-1<2, 即-1£x<3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3).
三、幂级数的运算
设幂级数及分别在区间(-R, R)及(-R¢, R¢)内收敛, 则在(-R, R)与(-R¢, R¢)中较小的区间内有
加法: ,
减法: ,
设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(-R, R)及(-R¢, R¢)内收敛, 则在(-R, R)与(-R¢, R¢)中较小的区间内有
加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn ,
减法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn .

乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ × × ×
+(a0bn+a1bn-1+ × × × +anb0)xn+ × × ×
性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续.
如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R](或[-R, R))连续.
性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式
(xÎI ),
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导, 并且有逐项求导公式
(|x|<R),
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
例6 求幂级数的和函数.
解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1).
设和函数为s(x), 即, xÎ[-1, 1). 显然s(0)=1.
在的两边求导得
.
对上式从0到x积分, 得
.
于是, 当x ¹0时, 有. 从而.
因为
,
所以, 当x¹0时, 有,
从而 .
例7 求级数的和.
解 考虑幂级数, 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和
函数为s(x), 则.
在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即.

§11. 4 函数展开成幂级数
一、泰勒级数
要解决的问题: 给定函数f(x), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x).
泰勒多项式: 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f(x)近似等于

,
其中(x介于x与x0之间).
泰勒级数: 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f¢(x), f¢¢(x), × × × ,
f (n)(x), × × × , 则当n®¥时, f(x)在点x0的泰勒多项式

成为幂级数

这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数. 显然, 当x=x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).
需回答的问题: 除了x=x0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)?
定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n®0时的极限为零, 即
.
证明 先证必要性. 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数, 即
,
又设sn+1(x)是f(x)的泰勒级数的前n+1项的和, 则在U(x0)内sn+1(x)® f(x)(n®¥).
而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)®0(n®¥).
再证充分性. 设Rn(x)®0(n®¥)对一切xÎU(x0)成立.
因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)®f(x),
即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛, 并且收敛于f(x).
麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x0=0, 得
,
此级数称为f(x)的麦克劳林级数.
展开式的唯一性: 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f(x)在点x0=0的某邻域(-R, R)内能展开成x的幂级数, 即
f(x)=a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn + × × × ,
那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有
f ¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+ × × ×+nanxn-1+ × × × ,
f ¢¢(x)=2!a2+3×2a3x+ × × × + n×(n-1)anxn-2 + × × × ,
f ¢¢¢(x)=3!a3+ × × ×+n×(n-1)(n-2)anxn-3 + × × × ,
× × × × × × × × × × × × × × ×
f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) × × × 2an+1x + × × × ,
于是得
a0=f(0), a1=f ¢(0), , × × ×, , × × ×.
应注意的问题: 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x). 因此, 如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.
二、函数展开成幂级数
展开步骤:
第一步 求出f (x)的各阶导数: f ¢(x), f ¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × .
第二步 求函数及其各阶导数在x=0 处的值:
f(0), f ¢(0), f ¢¢(0), × × × , f (n)( 0), × × × .
第三步 写出幂级数
,
并求出收敛半径R.
第四步 考察在区间(-R, R)内时是否Rn(x)®0(n®¥).

是否为零. 如果Rn(x)®0(n®¥), 则f(x)在(-R, R)内有展开式
(-R<x<R).
例1 将函数f(x)=ex展开成x的幂级数.
解 所给函数的各阶导数为f (n)(x)=ex(n=1, 2, × × ×), 因此f (n)(0)=1(n=1, 2, × × ×). 于是得级数
,
它的收敛半径R=+¥.
对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间), 有
,
而, 所以, 从而有展开式
.
例2 将函数f(x)=sin x 展开成x的幂级数.
解 因为(n=1, 2, × × ×),
所以f (n)(0)顺序循环地取0, 1, 0, -1, × × × ((n=0, 1, 2, 3, × × ×), 于是得级数
,
它的收敛半径为R=+¥.
对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间), 有
®0 (n ®¥).
因此得展开式
.
.
例3 将函数f(x)=(1+ x)m展开成x的幂级数, 其中m为任意常数.
解: f(x)的各阶导数为
f ¢(x)=m(1+x)m-1,
f ¢¢(x)=m(m-1)(1+x)m-2,
× × × × × × × × ×,
f (n)(x)=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1)(1+x)m-n,
× × × × × × × × ×,
所以 f(0)=1, f ¢(0)=m, f ¢¢(0)=m(m-1), × × ×, f (n)(0)=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1), × × ×
于是得幂级数
.
可以证明
.

间接展开法:
例4 将函数f(x)=cos x展开成x的幂级数.
解 已知
(-¥<x<+¥).
对上式两边求导得
.
例5 将函数展开成x的幂级数.
解 因为,
把x换成-x2, 得
(-1<x<1).
注: 收敛半径的确定: 由-1<-x2<1得-1<x<1.
例6 将函数f(x)=ln(1+x) 展开成x的幂级数.
解 因为,
而是收敛的等比级数(-1<x<1)的和函数:
.
所以将上式从0到x逐项积分, 得
.
解: f(x)=ln(1+x)
(-1<x£1).
上述展开式对x=1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当x=1时收敛, 而ln(1+x)在x=1处有定义且连续.
例7 将函数f(x)=sin x展开成的幂级数.
解 因为
,
并且有
,
,
所以 .
例8 将函数展开成(x-1)的幂级数.
解 因为

.
提示: ,.
,
,
收敛域的确定: 由和得.

展开式小结:
,
,
,
,
,
.

§11. 5 函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算
例1 计算的近似值, 要求误差不超过0.0001.
解 因为,
所以在二项展开式中取, , 即得
.
这个级数收敛很快. 取前两项的和作为的近似值, 其误差(也叫做截断误差)为

.
于是取近似式为,
为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10-4, 计算时应取五位小数, 然后四舍五入. 因此最后得
.
例2 计算ln 2的近似值, 要求误差不超过0.0001.
解 在上节例5中, 令 x=1可得
.
如果取这级数前n项和作为ln2的近似值, 其误差为
.
为了保证误差不超过, 就需要取级数的前10000项进行计算. 这样做计算量太大了, 我们必需用收敛较快的级数来代替它.
把展开式

中的x换成-x , 得
,
两式相减, 得到不含有偶次幂的展开式:
.
令, 解出. 以代入最后一个展开式, 得
.
如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为

.
于是取 .
同样地, 考虑到舍入误差, 计算时应取五位小数:
, , , .
因此得 ln 2»0.6931.
例3 利用 求sin9°的近似值, 并估计误差.
解 首先把角度化成弧度,
(弧度)(弧度),
从而 .
其次, 估计这个近似值的精确度. 在sin x 的幂级数展开式中令, 得
.
等式右端是一个收敛的交错级数, 且各项的绝对值单调减少. 取它的前两项之和作为的近似值, 起误差为
.
因此取 ,
于是得 sin9°»0.15643.
这时误差不超过10-5.

例4 计算定积分 的近似值, 要求误差不超过0.0001（取）.
解 将ex的幂级数展开式中的x换成-x2, 得到被积函数的幂级数展开式

.
于是, 根据幂级数在收敛区间内逐项可积, 得

.
前四项的和作为近似值, 其误差为
,
所以
.
例5 计算积分

的近似值, 要求误差不超过0.0001.
解 由于, 因此所给积分不是反常积分. 如果定义被积函数在x=0处的值为1, 则它在积分区间[0, 1]上连续.
展开被积函数, 有
.
在区间[0, 1]上逐项积分, 得
.
因为第四项
,
所以取前三项的和作为积分的近似值:
.
二、欧拉公式
复数项级数: 设有复数项级数
(u1+iv1)+(u2+iv2)+ × × ×+(un+ivn)+ × × ×
其中un , vn (n=1, 2, 3, × × ×)为实常数或实函数. 如果实部所成的级数
u1+u2 + × × × +un+ × × ×
收敛于和u, 并且虚部所成的级数.
v1+v2+ × × × +vn+ × × ×
收敛于和v, 就说复数项级数收敛且和为u+iv.

绝对收敛:
如果级的各项的模所构成的级数收敛,
则称级数绝对收敛.
复变量指数函数: 考察复数项级数
.
可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的, 在x轴上它表示指数函数ex , 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数, 记为ez . 即
.
欧拉公式: 当x=0时, z=iy , 于是

=cos y+isin y.
把y定成x得
eix=cos x+i sin x,
这就是欧拉公式.
复数的指数形式: 复数z可以表示为
z=r(cosq +isinq)=reiq ,
其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的辐角.
三角函数与复变量指数函数之间的联系:
因为eix=cos x+i sin x, e-ix=cos x-i sin x, 所以
eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x.
, .
这两个式子也叫做欧拉公式.
复变量指数函数的性质:
.
特殊地, 有ex+iy =ex ei y =ex (cos y+ isin y).

§11.7 傅里叶级数

一、三角级数 三角函数系的正交性
三角级数: 级数

称为三角级数, 其中a0, an, bn (n = 1, 2,