江苏省木渎高级中学高三数学模拟.doc

安徽高中数学
2009全国高考重点名校模拟预测数学一（附详解及知识拓展）人教版
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．R，R是两个向量集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．命题，命题有小于1的正根，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若，且的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0. 如果向量b1、b2、b3满足，且顺时针旋转30°后与同向，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
5．锐角三角形的内角A、B满足，则有（ ）
A． B．
C． D．
6．设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖放在五个茶杯上，则至少有两个杯盖与茶杯的编号相同的放法有（ ）
A．12种 B．24种 C．31种 D．32种
7．已知F1、F2为椭圆E的左、右两个焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率e满足，则e为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在R上的函数，对于任意的R，总有，且，则使得的取值范围为（ ）
A．（-2，+∞） B．（-∞，2） C．（-∞，-2） D．（2，+∞）
9．有限数列，它的前n项的和为Sn，定义为A的“凯森和”，若有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，的“凯森和”为（ ）
A．991 B．990 C．1000 D．999
10．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心O在正四面体的内部，则球O的表面积等于（ ）
A． B． 5． D．
11．若函数在区间[-1，1]上无实数根，则函数的递减区间是（ ）
A．（-2，2） B．（-1，1）
C．（-∞，-1） D．
12．已知全集集合A、B都是U的子集，当时，我们把这样的（A，B）称为“理想集合对”，那么这样的“理想集合对”一共有（ ）
A．36对 B．6！对 C．63对 D．36对

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填在题中的横线上.
13．已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则 .
14．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.
15．三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 .
16．在平面几何中有如下结论：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值，类比上述性质，请叙述在立体几何中的相应结论（任选其一）： .

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知的面积为.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．（本小题满分12分）
某新工艺流程如果投产成功可收益300万元，但投产之前，必须经过小型试验和中型试验，试验经费分别需2万元和36万元，小型试验的成功率为0.7. 如果连做两次小型试验，则成功率可提高到0.8，在小型试验基础上的中型试验的成功率为0.7，如果直接搞中型试验的成功率为0.5. 应该如何决策，才能获利最多？
19．（本小题满分12分）
如图，平面平面ABCD，
ABCD为正方形，是直角三角形，
且，E、F、G分别是
线段PA，PD，CD的中点.
（1）求证：∥面EFC；
（2）求异面直线EG与BD所成的角；
（3）在线段CD上是否存在一点Q，
使得点A到面EFQ的距离为0.8. 若存在，
求出CQ的值；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列满足其中n=1，2，3，….
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）求证：.
21．（本小题满分12分）
已知向量，经过定点且方向向量为的直线与经过定点且方向向量为的直线交于点M，其中R，常数a>0.
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若，过点的直线与点M的轨迹交于C、D两点，求的取值范围.
22．（本小题满分12分）
设函数.
（1）求的最值；
（2）判断函数上的单调性；
（3）对任意的a，b∈R+，且，比较的大小.
参考答案与解析
1．B 由
，
∴，故选B.
知识拓展：本题以向量为形式，考查了集合相等. 关于集合，我们要做到：①明确集合的对象；②明确集合的交、并及补的运算；③找出集合元素的个数等相关的问题.
2．D 设，∵有小于1的正根或或，而当时，有，此时不恒满足，同时也不能一定同时推出，反之，也不能推出，所以P是Q的既不充分也不必要条件.
知识拓展：这是有关充分必要条件的综合试题，要明确充分、必要、充分必要等有关的概念，并且弄清哪个是哪个的什么条件.
3．B ，
∴，∴的最大值为2.
知识拓展：本题考查了复数的相关问题，要注意复数与共轭复数中最一般的概念和性质.
4．D 取特殊情况，不妨，显然有，而易证得. 所以选D.
知识拓展：这是有关向量的试题，向量可与很多内容综合，但一定要理解向量的含义，掌握有关向量加减、数量积的运算，及平行垂直和夹角的有关运算.
5．A 解斜三角形问题必须注意题目所设置的情况，从已知等式左边进行化简，产生2A、B的三角函数之间的关系.
是锐角三角形，，，∴，∴=cosB. 故选A.
知识拓展：本题考查了有关角的运算，要记住三角中的一些基本运算关系.
6．C 解题时要进行正确的分类. ①当5个全盖对时为1；②当3个盖对时为；③当2个盖对时为，∴1+10+20=31种.
知识拓展：这是有关排列组合的题目，要总结归纳排列组合的一些解法，如：相邻问题捆绑法，相间问题插空法，定序、均分问题缩倍法，选排问题先选后排法等等典型方法.
7．B 由，再由椭圆第二定义（为点P到左准线的距离），由以上两式得，，所以.
即P到椭圆准线的距离等于P到直线（抛物线定义），
故是它们的公共准线，故，由此得
知识拓展：要理解圆锥曲线的第一和第二定义及有关的概念及性质，搞懂a、b、c等的代数关系及其在图象上的反映.
8．C 解法一：由，以及，又，所以，所以，所以. 选C.
解法二：对抽象函数，首先要考虑取特殊函数法. 由条件：“定义在R上的函数满足，对于任意的R，总有，且”可取，，所以. 选C.
知识拓展：这是有关抽象函数的试题，要注意用类比基本函数、赋值法，再者利用函数的性质.
9．A 由已知
，故数列1，的“凯森和”为

知识拓展：关于数列的问题，要掌握等差数列、等比数列的一些重要的性质，并能够灵活运用.
10．B 将正四面体ABCD补形为一个正方体，则球O为正方体的内切球，由正四面体的棱长为1可得正方体的棱长为，从而其内切球半径为.
∴.
知识拓展：解答本题要弄清球表面积、体积等公式及垂径分弦等性质，要弄清球的半径与内接或外切几何体棱长的关系，画出横截面.
11．D 函数在区间[-1，1]上的图象是线段，由题意，解得，所以，得，故选D.
知识拓展：函数问题是贯穿高考始终的问题，要解决高考函数问题，就必需掌握函数的基本性质，达到灵活运用.
12．D 由题意，，则（UA）（UB）={4，5，6，7，8，9}. 这6个元素各有三种位置供选择，且互不相关，故所有满足条件的情况共36种. 选D.
知识拓展：这是创新型试题中的新背景问题，属中档题，要求考生在深刻、准确理解意的基础上，运用所学的数学知识来解决相关的实际问题.
13． 的通项为，∵，∴r=1，
∴的展开式中的系数是的通项为，∵，∴展开式中的系数是，∴
知识拓展：二项式定理的考题，要熟练掌握二项式定理和典型题型，及其一些重要性质，如：.
14．20 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
知识拓展：求函数的最值方法较多，有均值不等式法，配方法，导数法，单调性法等等，需要在平时的学习中积累.
15．36 设三角形的另两边为x，y，且，由题意有，作出可行域满足条件的点（x，y）应为可行域中的整点. 应填36.
[提示：可行域内（包括实边界）整数点个数占正方形内（包括边界）整点个数的，而正方形内整点个数为122=144]
知识拓展：线性规划题目，会考一个选择或真空，要掌握其一般的解题方法，就要注意它与其他知识的交汇.
16．从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面距离之比为定值.
知识拓展：本题属于立体几何中的线线、线面、面面关系的题目，在高考中会以一个选择或填空题的形式来出，平时应积累一些这方面的题目. 而此题在上述基础上，是以探索性命题出现的，属于探索性命题中的结论探索型试题，要掌握探索性命题的一些常规解法，如直觉判断法、预设探求法、数形结合法等等.
17．（1）∵， ①
又∵，∴. ②
由①、②得.
（2）

知识拓展：①当遇到有关三角形的题目时，一定要想起三角形三内角和“A+B+C=π”及其变形“B+C=π-A”与正弦定理、余弦定理. ②当三角的题目涉及到向量时，一般就是利用向量的数量积，平行、垂直、求向量的夹角. ③在简答题中将有一道是三角变换题，属中档题，此题型一般是向量与三角函数的结合或以三角形为背景，一般以三角函数求值为设问方式，重点考查三角函数基本公式的灵活与综合应用，以及三角变换的能力.
18．共有三种决策.
（1）一次小型试验和一次中型试验，此时工程的所有可能情况及其概率如下：
方案
小型试验
中型试验
累计
概率
试验
花费
实际
效益
成败
概率
成败
概率

（1）
成功
0.7
成功
失败
0.7
0.49
38
262
0.3
0.21
38
-38
失败
0.3

0.3
2
-2

工程投资获益的期望值为：
（万元）.
（2）两次小型试验和一次中型试验，此时工程的所有可能情况及其概率如下：
方案
小型试验
中型试验
累计
概率
试验
花费
实际
效益
成败
概率
成败
概率

（2）
成功
0.8
成功
失败
0.7
0.56
40
260
0.3
0.24
40
-40
失败
0.2

0.2
4
-4

工程投资获益的期望值为：
（万元）.
（3）如果急于求成，想省去小型试验，直接搞中型试验，此时工程的所有可能情况及其概率如下：
方案
中型试验
试验
花费
实际
效益
成败
概率
（3）
成功
0.5
36
264
失败
0.5
36
-36

工程投资获益的期望值为：
（万元）
，所以采取方案（2）最有利.
知识拓展：应用题将会考概率统计，以实际问题为背景，以求事件发生的概率和随机变量的期望为设问方式，重点考查等可能事件，相互独立事件，互斥事件，对立事件，独立重复实验的概率原理，以及运用概率知识解决实际问题的能力. 概率统计新增知识中近几年未考查的知识，复习时也不可忽视.
19．解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，
∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，
∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四点共面.
又H为AB中点，
∴EH∥PB.
又面EFG，PB面EFG，
∴PB∥面EFG.
（2）取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM∥BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角.
在Rt△MAE中，，
同理，
又，
∴在MGE中，，
故异面直线EG与BD所成的角为.
（3）假设在线段CD上存在一点Q满足
题设条件. 过点Q作QR⊥AB于R，连结RE，
则QR∥AD.
∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，
且PA=AD=2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA，
又∵ABPA=A，
∴AD⊥面PAB.
又∵E，F分别是PA，PD中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥面PAB.
又EF面EFQ，
∴面EFQ⊥面PAB.
过A作AT⊥ER于T，
则AT⊥面EFQ，
∴AT就是点A到面EFQ的距离.
设，则BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，
在Rt△EAR中，.
故存在点Q，当时，点A到面EFQ的距离为0.8.
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，
则,,
.
（1）∵，
，
设，即
，
解得.
∴，又∵不共线，
∴共面. ∵PB面EFG，∴PB∥面EFG.
（2）∵，
∴.
故异面直线EG与BD所成的角为
（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，令，则DQ=2-m，
∴点Q的坐标为，∴. 而，设平面EFQ的法向量为n=(x，y，z)，则，
∴. 令x=1，则.
又，∴点A到面EFQ的距离，
即，∴.
故存在点Q，当时，点A到面EFQ的距离为0.8.
知识拓展：立体几何属中档试题，常以线面组合、折叠、棱柱等多面体为背景材料；以证明空间线、面平行与垂直关系，求空间角和距离为设问方式，重点考查空间线、面位置关系的判断和性质，角和距离的计算，以及空间向量的应用，当求点到平面的距离时，要考虑到“等体积法”.
20．（1）∵，∴.
（2）∵∴.
∴，∴.
（3）…又∴.
∵，
∴
∴.
∴
∴
.
∵，∴，∴.
综上所述，
知识拓展：本题考查了的递推关系，及数列与不等式的结合. 当涉及到前n项和与通项之间的关系的时候，要考虑到“”一般会给出背景材料，要求分析数列的递推关系，这就要掌握“递推数列通项的求法”. 如：
型，型，型
等等. 此种题型一般会给出背景，以探求、证明不等式关系为设问方式，重点考查数列的基础知识、基本运算，以及数式变形的能力.
21．（1）设点，
又∥，∥
故，消去参数，整理得点Ｍ的轨迹方程为（除去点）.
（2）由得点M轨迹方程为（除去点），
若设直线CD的方程为，，，则由消去y得，显然，于是，
设，
因此
，
即
若直线轴，则，于是，
综上可知.
知识拓展：对于解析几何，要理解圆锥曲线的定义（第一、二定义）、有关的概念及性质（焦点弦公式、中点弦性质等）、方法（设而不求法、点差法等）和a、b、c等的代数关系和在图象上的反映. 而这种题型将以直线和圆锥曲线相结合，以证明、探求圆锥曲线的有关性质，求相关参数的值为设问式，重点考查直线和圆锥曲线的方程和性质，以及运算能力.
22．（1），∴，
又，∴是R上的递增函数.
∴时，时，，
有最小值. 无最大值.
（说明：此小题若考生不求二阶导数，而是对x的取值范围进行讨论得出相应结果，则也给予相应的分值）
（2）∵，∴，
由（1）可知当时，，∴在上为增函数.
（3）记，
则
，
∴，当时，，当时，，
∴在上有最小值，
而且，∴，即.
知识拓展：要熟练掌握导数的三大应用：①求斜率：在曲线的某点有切线，则求导后把横坐标代进去，则为其切线的斜率；②有关极值：就是某处有极值，则把它代入其导数，则为0；③单调性的判断：单调递增；单调递减. 要熟练一些函数的单调性的判断方法，有作差法，作商法，导数法；对于含参范围问题，解决方法有，当参数为一次时，可直接解出或通过均值不等式求最值法把其求出；当为二次时，可用判别式法或导数法等求.
第 15 页 共 15 页