高三数学压轴小题训练(十).doc

高三数学小题冲刺训练（十）
姓名：_______________班级：_______________考号：_______________
一、填空题（共16小题，每小题5分，共计80分）
1．集合{x|－1≤log10<－，x∈N*}的真子集的个数是 ．
2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐
角主值为，则z2=_______．
3.曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A
旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．
4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．
5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．)
6.在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．
7.. 若,则= .
8. 在复数集C内,方程的解为 .
9. 设，求数x的个位数字.
10. 设，则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.
11. 设P是抛物线上的动点,点A的坐标为,点M在直线PA上,
且分所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是 .
12.为上在轴两侧的点，过的切线与轴围成面积的最小值为________
13.为边长为的正五边形边上的点．则最长为___________

14. 正四棱锥S-ABCD中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是_________
15. 在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为An，令an=log2An，n∈N．
（1） 数列{An}的前n项和Sn为_________________
（2）Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2=_____________________
16.已知数列A：a1，a2，…，an（n≥3），令TA={x|x=ai+aj.1≤i＜j≤n}，car（TA）表示集合TA中元索的个数．
①若A：2，4，8，16，则card（TA）=______；
②若ai+1-ai=c（c为非零常数．1≤i≤n-1），则card（TA）=______．
参考答案
1. 解 由已知，得<logx10≤1Þ1≤lgx<2Þ10≤x<100．故该集合有90个元素．其真子集有290-1个．
2. 解：z1满足|z－i|=1；argz1=，得z1=+i，=cos(－)+isin(－)．
设z2的辐角为θ(0<θ<π)，则z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．·z2=2sinθ[cos(θ－)+isin(θ－)]，若其实部为0，则θ－=，于是θ=．z2=－+i．
3. 解：只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可．
设P(1+cosθ，θ)，
则|AP|2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5
=－3(cosθ+)2+≤．且显然|AP|2能取遍[0，]内的一切值，故所求面积=π．
4. 解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b．
取CD中点G，则AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，则∠BFD为二面角B—AC—D的平面角．
AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2．
由cos∠AGE=cos∠BFD，得=．
∴ =Þ9b2=16a2，Þb=a，从而b=2，2a=3．
AE=2．即最远的两个顶点距离为3．
5. 解：至少3种颜色：
6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(4－1)!=6种方法，共计30种方法；
用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：C(4－1)! =30；6×30÷2=90种方法；．
用4种颜色：CC=90种方法．
用3种颜色：C=20种方法．
∴共有230种方法．
6. 解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求x2+y2=1992的整数解数．
显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n－1．且1≤m，n≤99．
则得4m2=1992－(2n－1)2=(198+2n)(200－2n)．m2=(99+n)(100－n)≡(n－1)(－n) (mod 4)
由于m为正整数，m2≡0，1 (mod 4)；(n－1)(－n)≡
二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)这4解．
∴ 共有4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)．
7. 由,得,有,即.
则,原式=.
8. 设,,代入原方程整理得
有,解得或,所以或.
9. 直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.
【解】令
，由二项式定理知，对任意正整数n.
为整数，且个位数字为零.
因此，是个位数字为零的整数.再对y估值，
因为， 且，
所以 故x的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.
10. 解：被除余的数可写为. 由≤≤.知≤≤.
又若某个使能被57整除，则可设=57n. 即.
即应为7的倍数. 设代入，得. ∴. ∴m=0,1.于是所求的个数为．
11. 设点P,M,有,,得,
而,于是得点M的轨迹方程是.
【解析】 12.不妨设过点的切线交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点．如图．设，
且有．
由于，
于是的方程为；①
的方程为． ②
联立的方程，解得．
对于①，令，得；

对于②，令，得．
于是．
．不妨设，，则

③
不妨设，则有

6个 9个

． ④
又由当时，③，④处的等号均可取到．
∴．
注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
由知当时；当时．
则在上单调减，在上单调增．于是当时取得最小值．
13.以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
⑴当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；

⑵当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）．
不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上．
且当从向移动时，先减小后增大，于是；
对于线段上任意一点，都有．于是
由⑴，⑵知．不妨设为．
下面研究正五边形对角线的长．

如右图．做的角平分线交于．
易知．
于是四边形为平行四边形．∴．
由角平分线定理知．解得．
14. α＜β＜γ＜θ．
15.
16. 6；2n-3