高考典型题集锦1：三角函数与解三角形.doc

2012高考典型题集锦1:三角函数与解三角形 北京市海淀区夏繁军整理 xiafanjun68@
1.【2012高考安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
①若；则 ②若；则
③若；则 ④若；则
⑤若；则
【答案】①②③
【命题立意】本题解三角形的知识，主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。
1.【解析】正确的是
①
②
③当时，与矛盾
④取满足得：
⑤取满足得：

2.【2012高考湖北理17】（本小题满分12分）
已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.
2.【答案】（Ⅰ）因为
.
由直线是图象的一条对称轴，可得，
所以，即．
又，，所以，故.
所以的最小正周期是.
（Ⅱ）由的图象过点，得，
即，即.
故，
由，有，
所以，得，
故函数在上的取值范围为.
3。【2012高考广东理16】（本小题满分12分）
已知函数，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．
（1）求ω的值；
（2）设，，，求cos（α＋β）的值．
【答案】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值，难度较低。
3.【解析】（1）
（2）

4.【2012高考山东理17】（本小题满分12分）
已知向量，函数的最大值为6.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.
4.解：（Ⅰ）

因为 ，
由题意知 ．
（Ⅱ）由（I）
将的图象向左平移个单位后得到
的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到
的图象．
因此
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以在上的值域为．

5.【2012高考重庆理18】（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分）
设，其中
（Ⅰ）求函数 的值域
（Ⅱ）若在区间上为增函数，求 的最大值.5.解：（1）

因，所以函数的值域为
（2）因在每个闭区间上为增函数，故在每个闭区间上为增函数。
依题意知对某个成立，此时必有，于是
，解得，故的最大值为。
6..【2012高考浙江理18】(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC．
(Ⅰ)求tanC的值；
(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．
6.【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。
(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，
又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA
＝cosC＋sinC．
整理得：tanC＝．
(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝．
又由正弦定理知：，
故． (1)
对角A运用余弦定理：cosA＝． (2)
解(1) (2)得： or b＝(舍去)．
∴ABC的面积为：S＝．
7【2012高考辽宁理17】(本小题满分12分)
在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求的值。
【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列概念、正余弦定理应用，是容易题.
7.【解析】（1）由已知 ……6分
（2）解法一：，由正弦定理得
解法二：，，由此得得
所以， ……12分
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。
8.【2012高考江西理17】（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知
（1）求证：
（2）若，求△ABC的面积。
8.解：（1）证明：由 及正弦定理得：
，
即
整理得：，所以，又
所以
（2） 由（1）及可得，又
所以，
所以三角形ABC的面积
【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查.
9.【2012高考江苏15】（14分）在中，已知．
（1）求证：；
（2）若求A的值．
9.【答案】解：（1）∵，∴，即。
由正弦定理，得，∴。
又∵，∴。∴即。
（2）∵ ，∴。∴。
∴，即。∴。
由 （1） ，得，解得。
∵，∴。∴。
【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。
【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。
（2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。

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