第23章《二次函数与反比例函数》中考题集(17)：23.4 二次函数与一元二次方程.doc

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第23章《二次函数与反比例函数》中考题集（17）：23.4 二次函数与一元二次方程

第23章《二次函数与反比例函数》中考题集（17）：23.4 二次函数与一元二次方程

解答题
91．（2008•贵阳）利用图象解一元二次方程x2+x﹣3=0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）填空：利用图象解一元二次方程x2+x﹣3=0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y=　_________　和直线y=﹣x，其交点的横坐标就是该方程的解．
（2）已知函数y=﹣的图象（如图所示），利用图象求方程﹣x+3=0的近似解．（结果保留两个有效数字）

92．（2007•丽水）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整：
复习日记卡片
内容：一元二次方程解法归纳 时间：2007年6月×日
举例：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解
解方程：x2﹣x﹣1=0．
解：

方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解如图所示，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　_________　的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．

方法三：利用两个函数图象的交点求解
（1）把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是一个二次函数y=　_________　的图象与一个一次函数y=　_________　图象交点的横坐标；
（2）画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．

93．（2006•宁波）利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图）：求方程x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数字）

94．（2005•三明）已知二次函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2﹣4q＞0）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2﹣5x+6及图象（如图），可得出表中第2行的相交数据．
（1）在表内的空格中填上正确的数；
（2）根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
（3）对于函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2﹣4q＞0）证明你的猜想．聪明的小伙伴：你能再给出一种不同于（3）的正确证明吗？我们将对你的出色表现另外奖励3分．

y=x2+px+q
p
q
△
x1
x2
d
y=x2﹣5x+6
﹣5
6
1
2
3
1
y=x2﹣x
﹣

y=x2+x﹣2

﹣2

﹣2

3

95．（2009•漳州）阅读材料，解答问题．
利用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．
解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．
又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．
∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是　_________　；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0．（大致图象画在答题卡上）

96．（2005•滨州）（Ⅰ）请将下表补充完整；
判别式
△=b2﹣4ac
△＞0
△=0
△＜0
二次函数
y=ax2+bx+c（a＞0）的图象

一元二次方程
ax2+bx+c=0（a＞0）的根
有两个不相等的实数根
x1=，
x2=，
（x1＜x2）
有两个相等的实数根
x1=x2=﹣
无实数根
使y＞0的x的取值范围
x＜x1或x＞x2

不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集

x≠﹣

不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集

（Ⅱ）利用你在填上表时获得的结论，解不等式﹣x2﹣2x+3＜0；
（Ⅲ）利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；
（Ⅳ）试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）时的解题步骤．

第23章《二次函数与反比例函数》中考题集（17）：23.4 二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析

解答题
91．（2008•贵阳）利用图象解一元二次方程x2+x﹣3=0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）填空：利用图象解一元二次方程x2+x﹣3=0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y=　x2﹣3　和直线y=﹣x，其交点的横坐标就是该方程的解．
（2）已知函数y=﹣的图象（如图所示），利用图象求方程﹣x+3=0的近似解．（结果保留两个有效数字）

考点：
图象法求一元二次方程的近似根。733904
分析：
（1）一元二次方程x2+x﹣3=0可以转化为x2﹣3=﹣x，所以一元二次方程x2+x﹣3=0的解可以看成抛物线y=x2﹣3与直线交点的横坐标；
（2）函数y=﹣的图象与直线y=﹣x+3的交点的横坐标就是方程﹣x+3=0的近似解．
解答：
解：（1）x2﹣3；
（2）图象如图所示：

由图象可得，方程﹣x+3=0的近似解为：x1=﹣1.4，x2=4.4．
点评：
对于含有一个未知数的方程，我们可以借助学过的几种类型的函数的图象的交点近似地求解．

92．（2007•丽水）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整：
复习日记卡片
内容：一元二次方程解法归纳 时间：2007年6月×日
举例：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解
解方程：x2﹣x﹣1=0．
解：

方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解如图所示，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　　的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．

方法三：利用两个函数图象的交点求解
（1）把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是一个二次函数y=　　的图象与一个一次函数y=　　图象交点的横坐标；
（2）画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．

考点：
图象法求一元二次方程的近似根。733904
分析：
本题是用二次函数看一元二次方程的一个典型题型，通过三种方法的解题发现，一元二次方程即可以用常规方法解，又可以函数的角度解；用函数方法解题，也有多种方法，如可看作求函数y=x2﹣x﹣1图形与x轴交点的横坐标，也可看作求一个一次函数与一个二次函数图象的交点横坐标．
解答：
解：（1）∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，
∴b2﹣4ac=5．
∴．
∴原方程的解是x1=，x2=；

（2）x2﹣x﹣1；

（3）x2与x+1或x2﹣1与x等．
点评：
是一道“课题学习”，采用“学生复习日记卡片”的形式，针对一元二次方程解法的多样性的探究，在考查学生解题思维能力广阔性、深刻性的同时，还给学生提供了数学学习方法的样例，是对新教材现状难以考查学生学习过程、方法的一种新尝试．本题将代数、几何解法有机融合，借助数形结合，在考查学生学习方法探究归纳的同时，引导学生反思性学习，是一道亮点题型．
[常见错误]
方法一：没有选择最优的方法，能直接用公式法而去用配方法求解，以至配方时移项、开平方的错误．
方法二、三：对利用图象法求方程的近似解没有掌握，无法将一元二次方程转化为函数的图象的交点求解．方法二中填写或的错误结果；方法三随意拆成二个函数，但不能转化为规定的方程．

93．（2006•宁波）利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图）：求方程x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数字）

考点：
图象法求一元二次方程的近似根。733904
分析：
（1）由范例可得应把x2﹣2x﹣1=0进行整理，也可得到x2﹣1=2x，那么可得y=x2﹣1和y=2x两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（2）把方程x3﹣x﹣2=0整理得x3=x+2，那么可得y=x3和y=x+2两图象交点的横坐标就是该方程的解．
解答：
解：（1）方法：在直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣1和直线y=2x，其交点的横坐标就是方程的解．
（2）在图中画出直线y=x+2与函数y=x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，
∴方程的近似解为x≈1.5．

点评：
本题考查用函数图象法求解一元二次方程或一元多次方程的解，关键是把一元二次方程或一元多次方程整理为两个函数的形式．

94．（2005•三明）已知二次函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2﹣4q＞0）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2﹣5x+6及图象（如图），可得出表中第2行的相交数据．
（1）在表内的空格中填上正确的数；
（2）根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
（3）对于函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2﹣4q＞0）证明你的猜想．聪明的小伙伴：你能再给出一种不同于（3）的正确证明吗？我们将对你的出色表现另外奖励3分．

y=x2+px+q
p
q
△
x1
x2
d
y=x2﹣5x+6
﹣5
6
1
2
3
1
y=x2﹣x
﹣

y=x2+x﹣2

﹣2

﹣2

3

考点：
图象法求一元二次方程的近似根。733904
专题：
压轴题。
分析：
（1）p为一次项系数；q为二次函数的常数项；△为b2﹣4ac；一根为常数项÷另一根；d为较大根于较小根之差；
（2）代入相关值后可得相关量之间的关系；
（3）令y=0，得出x1+x2=﹣p，x1•x2=q．继而推出d2=（|x1﹣x2|）2=△
解答：
解：（1）易得第三行q=0，x1=0，d=；第四行为p=1，△=9，x2=1；

（2）猜想：d2=△．
例如：y=x2﹣x﹣2中；p=﹣1，q=﹣2，△=9；
由x2﹣x﹣2=0得x1=2，x2=﹣1，d=3，d2=9，
∴d2=△；

（3）证明．令y=0，得x2+px+q=0，
∵△＞0
设x2+px+q=0的两根为x1，x2，
则x1+x2=﹣p，x1•x2=q，
d2=（|x1﹣x2|）2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2
=（﹣p）2﹣4q=p2﹣4q=△，
点评：
本题考查二次函数的性质的综合运用，需注意可根据具体的数值得到相应的量之间的关系．

95．（2009•漳州）阅读材料，解答问题．
利用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．
解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．
又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．
∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是　　；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0．（大致图象画在答题卡上）

考点：
二次函数与不等式（组）。733904
专题：
阅读型。
分析：
（1）由x2﹣2x﹣3=0得x1=﹣1，x2=3，抛物线y=x2﹣2x﹣3开口向上，y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3；
（2）仿照（1）的方法，解出图象与x轴的交点坐标，根据图象的开口方向及函数值的符号，确定x的范围．
解答：
解：（1）﹣1＜x＜3；

（2）设y=x2﹣1，则y是x的二次函数，
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上．
又∵当y=0时，x2﹣1=0，
解得x1=﹣1，x2=1．
∴由此得抛物线y=x2﹣1的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0．
∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1．

点评：
解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＜0或y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．

96．（2005•滨州）（Ⅰ）请将下表补充完整；
判别式
△=b2﹣4ac
△＞0
△=0
△＜0
二次函数
y=ax2+bx+c（a＞0）的图象

一元二次方程
ax2+bx+c=0（a＞0）的根
有两个不相等的实数根
x1=，
x2=，
（x1＜x2）
有两个相等的实数根
x1=x2=﹣
无实数根
使y＞0的x的取值范围
x＜x1或x＞x2

不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集

x≠﹣

不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集

（Ⅱ）利用你在填上表时获得的结论，解不等式﹣x2﹣2x+3＜0；
（Ⅲ）利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；
（Ⅳ）试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）时的解题步骤．

考点：
二次函数与不等式（组）。733904
专题：
开放型。
分析：
解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）实质上就是求抛物线图象在x轴上方时，自变量的取值范围，抛物线开口方向及与x轴的交点情况就决定了函数值什么情况下大于0，即ax2+bx+c＞0．
解答：
解：（Ⅰ）
判别式
△=b2﹣4ac
△＞0
△=0
△＜0
二次函数
y=ax2+bx+c（a＞0）的图象

一元二次方程
ax2+bx+c=0（a＞0）的根

使y＞0的x的取值范围

x≠﹣
全体实数
不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集
x＜x1或x＞x2

全体实数
不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集
x1＜x＜x2
无解
无解
（Ⅱ）由原不等式，得x2+2x﹣3＞0，∵△=4+12＞0，
解方程x2+2x﹣3=0，得不相等的两个实数根分别为x1=﹣3，x2=1，
∵a=1＞0，∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞1；
（若画出函数y=x2+2x﹣3的图象，并标出与x轴的交点坐标而得解集的，同样可以）

（Ⅲ）如x2+x+1＞0等，（只要写出满足要求的一个一元二次不等式即可）；

（Ⅳ）（1）先把二次项系数化为正数；
（2）求判别式的值；
（3）求方程ax2+bx+c=0的实数根；
（4）写出一元二次不等式的解集．
点评：
主要考查了二次函数的性质与一元二次不等式之间的关系，以及图象与x轴的位置关系．这些性质和规律要求掌握．

参与本试卷答题和审题的老师有：hbxglhl；zhangCF；lanchong；csiya；Liuzhx（排名不分先后）
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2012年10月25日
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