专题3 数列的综合应用(1).doc

专题3 数列的综合应用
题型1 等差数列、等比数列的综合问题
1. 已知是等差数列,其前n项和为,是等比数列,且,,.
(1)求数列与的通项公式;
(2)记,,证明:.
解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
由,得,,,
由条件,,
得方程组,计算得出,
故,,.
(2)证明:方法一,由(1)得,;   (1);
;     (2);
由(2)得,

;
而;
故.
方法二:数学归纳法,
(3)当时,,,故等式成立,
(4)假设当时等式成立,即,
则当时有,

.
即,因此时等式成立.
(3)(4)对任意的,成立.
2. 数列的前项和为，已知，，且，。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求。
答案（Ⅰ）证明：由条件，对任意,有，
因而对任意,，所以。
两式相减，得，，。
又，，所以，
故对一切的，。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，所以，
于是数列是首项为，公比为的等比数列；
数列是首项为，公比为的等比数列。
因此，。于是

。
从而。综上所述，
题型2 数列的实际应用
3. 某住宅小区计划植树不少于棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数等于_____。
答案644
解析本题主要考查等比数列的和。
第一天是棵，第二天棵，所以第天是棵。，解得。所以的最小值为6。
4. 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,以名次类推得到剩下的一半多一万元,到第10名恰好资金分完,求此科研单位共拿出多少万元资金进行奖励.
解:设第十名到第一名得到的奖金分别是,,,,
则,,,
每人所得奖金数组成一个以2为首项,公比为2的等比数列,

此科研单位共拿出2046万元资金进行奖励.
5. 某企业2010年初贷款a万元，年利率为r，按复利计算，从2010年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（　　）万元．

6. 一学生参加市场营销调查活动,从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料.资 料显示:11月2日开始,每天的销售量比前一天多t台(t为常数),期间某天由于商 家提高了家电M的价格,从当天起,每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天 共售出8台,11月5日的销售量为18台.
(I)若商家在11月1日至15日之间未提价,试求这15天家电M的总销售量.
若11月1日至15日的总销售量为414台,试求11月份的哪一天,该商场售出家电M的台数最多?并求这一天售出的台数.
解:(I)根据题意,商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列,
,,解之得
因此,这15天家电M的总销售量为台.
设从11月1日起,第n天的销售量最多,,
由(I),若商家在11月1日至15日之间未提价,则这15天家电M的总销售量为450台,
而不符合题意,故; 
若,则,
也不符合题意,故
因此,前n天每天的销售量组成一个首项为2,公差为4的等差数列,第天开始每天的销售量组成首项为,
公差为-2的等差数列.

由已知条件,得,即
解之得或(舍去19)
,出售家电M的台数为台
故在11月12日,该商场售出家电M的台数最多,这一天的销售量为46台.
题型3 数列与函数、不等式的综合
7. 已知数列中,,点(且)满足,则?
答案时,代入

,为定值.
,数列是以1为首项,2为公比的等比数列.

时,,同样满足通项公式,数列的通项公式为

8. 已知数列的通项公式为,数列的通项公式为,设若在数列中,对任意恒成立,则实数k的取值范围是
答案
解:若,则,则前面不会有的项,
递增,递减,,
递减,当时,必有,即,
此时应有,,即,得,
,即,得,
.
若,则,同理,前面不能有项,
即,当时,递增,递减,
,
当时,.由,即,得,,
由,得,得,即.
综上得,.实数k的取值范围是.
因此，本题正确答案是:.
9. 已知奇函数是定义在R上的增函数,数列是一个公差为2的等差数列,满足,则的值等于

答案4003解:设,则,,,
,
且,且.
结合奇函数关于原点的对称性可以知道,,
.,即..
设数列通项...
通项..
因此，本题正确答案是:4003.
10. 定义函数,其中表示不小于x的最小整数,如,.当,时,函数的值域为,记集合中元素的个数为,则
 答案
解:根据题意易知:当时,因为,所以,所以,所以,;
当时,因为,所以,所以,所以,;
当时,因为,所以,所以,所以,;
当时,因为,所以,所以,
所以,;
当时,因为,所以,所以,
所以,,
由此类推:,所以,
即,,,,,
以上个式子相加得,,
计算得出,所以,
则,
因此，本题正确答案是:.
11. 已知单调递增的等比数列  满足  ,且  是  的等差中项.(1)求数列  的通项公式;
(2)若   ,求  成立的正整数  的最小值.
答案(1)  ,∴  ,∴  ,∴  ,
∴  ,∴  或  ,
∵  为递增数列，∴  ;∴  ;
(2)  ,错位相减得到 
∴  ,  ,  ;
即  .
12. 已知数列是首项为2的等差数列,其前n项和满足.数列是以为首项的等比数列,且.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前n项和为,若对任意不等式恒成立,求的取值范围.
解:(Ⅰ)设等差数列的公差为d,根据题意得,,计算得出,,
由,从而公比,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
又,
对任意,等价于,对递增,
,
.即的取值范围为.
13. 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，。（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有。
答案（1）当时，，解得或者（舍去）；
（2），因为恒大于零，因此，当时，，，当，也成立。因此数列的通项公式为；
（3）由（2）可知，因此，，当，有，当时，，所以对一切正整数，都有。

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