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出乎意料的小问题

在日常生活当中，我们经常会遇到这样的情景，有些事情的结果或结局往往完全出乎我们的意料和想象。

水滴的形状
很多情况下我们都会讲水滴的形状理解成泪珠状，上尖下园的。但是科学告诉我们，水滴不像泪珠，而像一粒粒小馒头——上圆下扁。
水滴的形状是上圆下扁，从实验室的风洞测试中，到实际拍摄的雨滴照片上，水滴的形状都是如此。
其实原因不难想象，水滴本身是个流体，按照流体力学原理，一个流体球在空气中自由掉落时，前端受到的压力最大，结果前端被压扁，则后端则保持圆形，结果就成了馒头形。
单个水滴的形状比我们想象的要复杂得多，比如我们站在山脚下看瀑布，会发现围绕着瀑布，有一片薄雾持久地悬在空中。显然，雾气是由非常小的小水滴组成的，小到足以在空气中悬浮不落下。所以水滴的形成过程中，会出现尺寸大小各不相同的多种水滴。
很多年前，已有人已经费心观察过水滴的形状，然而，早期文献中只有一张图正确，那是在一个世纪之前，由英国物理学家约翰·斯特拉特所绘制的。可惜那张图画太小了，所以几乎没有研究者注意到。直到一九九○年，数学家豪·佩里格林等人通过高速摄影机将水滴形成过程拍摄下来，才揭示了卫星水滴形成的全过程。
一滴水在形成之初，是悬挂在水龙头尾端水面的一个鼓涨部分。逐渐地，它会形成一个腰身，这个腰身越变越细，挂在下端的水滴则变成了泪珠状，这大概就是人们想象水滴是泪珠状的原因吧。在一般人的想象中，水滴的腰身会被卡断，然后形成一个又短又尖的尾巴。可是实际上，水滴的腰身是越拉越长，变成一根细长的圆柱，下端则悬挂着一个几乎接近球形的水滴。接下来，细圆柱与球形接触的部分开始变得更细，最后成为一个尖点。在这个阶段中，整体的形状看起来就像一根毛线针插在一个桔子上。水滴“桔子”随后从针尖处脱离，然后它一面坠落，一面还在进行轻微的振动。现在，细圆柱尖尖的尾部开始变圆，还会有微小的波动向上传到它的顶端，使它看起来好像一串越到上面越小的珍珠。最后，这根细圆柱的顶端收缩成一个尖点，然后整根细圆柱也掉下来!在坠落的过程中，它的顶端变成了球形，并有了一系列复杂的波动沿着它上下传递。卫星水滴出现了。至此，我们了解了卫星水滴的真实身份：它原来是拉长水柱变化而来的。而它的存在，又和它相邻的被剪断的那个大水滴的轮廓形状紧密相关：朝向下面大水滴的方向，卫星水滴的轮廓是尖锐的，而另一边，形状却比较平缓，这是个高度不对称的外形。
由于张力作用，小水滴不会很快滴落；也由于其作用，促使了各种球状小水滴的形成，而重力是整个过程中的动力。再看看水滴下落的真实过程。理想的状态下：由于液体表面张力作用，液体是球形的，由H=1/2gt2，知道时间，就可以算出在任何时刻的位置。然而，真实的下落过程要复杂的多。在下落过程中水滴不是球形的，下部的压力大，它是一个小馒头形状的。
水滴下落这项研究已被公认是近年来一项“杰出的工作”。它的意义远不止是科学上的，其更大的意义是在思维方面。试想，谁没有看见过水滴呢？问题是又有几个人认认真真地观察过这一人们日常生活中最常见的现象呢？其实，人们在这个问题上的认识是传承了习惯的认识。当科学技术发展了，社会进步了，习惯的东西或认识有时是需要推敲和重新认识的。我们应该勇于挑战习惯。

一辆轿车和两只山羊问题
有些看似简单的问题，其实不简单，甚至让人感到反直觉。需要耐心细致的分析对比思考。
“玛丽莲问题”问题如下：台上有三个门，一个后边有汽车，其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后 他打开其余两个门中的一个，你看到是山羊。这时，他给你机会让你可以重选，也就是你可以换选另一个剩下的门。那么，你换不换？
　 玛丽莲的答案是应该换，但是很多读者不同意。玛丽莲在下一期专栏给出一个事件列表说明她的道理，但反对声更多更大了。在几千封读者来信中，反对者达九成。其中有全国健康机构的统计学家，国防情报中心的副主任，甚至著名的美籍匈牙利数学家保罗.埃尔笛希（Paul Erdos）也是反对者之一。 　　　　
　 1991年2月17日，玛丽莲为此题目作了第三期专栏。她最后是这样说服大家的：假如当主持人打开那个有山羊的门后，有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个门中任选一个，有车的概率确实都50%。但你不是刚到，你有优势，因为主持人帮助过你了，他为你在其余两个门中作了预选。你换了后，概率就由三分之一提高到三分之二了。然而，事情远远没有结束。接下来的十几年里，“玛丽莲问题”在全球掀起了讨论热潮，相关网站就有数十个，很多网站还给出了测试程序。在国内，你可以在任何论坛或BBS找到关于“玛丽莲问题 ”的帖子，网友们吵得面红耳赤，不亦乐乎。不过总的来说，无论国内还是国外，都是赞同玛丽莲的人多。也就是说就大部分人认为换门后得到车的概率是2/3，所以应该换。他们编写的程序也确实证明了这一点。但是，仍有一部分人坚持认为，换不换无所谓，概率都是1/2。为什么貌似简单的“玛丽莲问题”会产生这么多的争论呢？因为——答案本来就有两个！ 　　
　事实上，换不换取决于：主持人是随机选的呢？还是故意打开有羊的门呢？（１）如果主持人是随机选的，那么他和你的地位是等同的（都是随机选，先选后选无所谓），你们两个选到车的概率都是1/3，另一扇门后有车的概率也是1/3，所以换不换无所谓。（２）如果主持人是故意打开有羊的门，那么他选到车的概率当然是0，而你选到车的概率还是1/3，这样另一扇门后有车的概率就是2/3，所以应该换。这就是“2/3派”得势的理由。
　 问题的症结在于：甲作重新选择并不是随机选择，外星人做的选择是随机选择，两者的概率计算是不一样。
　 必须是随机选择，才能说概率不因人的选择而改变。争论不休都是忘了概率的定义。

数学证明
请说明：两个不相等的有理数a和b，假设a< b，不论b和a相差多么小，b和a之间还有无穷多个数。
证明： 我们可以在a和b之间构造有理数a+(b-a)/2，设b’= a+(b-a)/2，我们可以在a和b’之间构造有理数a+(b’-a)/2，显然这个过程是无穷的。

棋盘上的数学证明
在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？

答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。
但是，如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。

上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。
这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的。

对于有些事情，我们在感叹没有想到的同时，是不是应该很好地检讨一下自己思维摸式的缺憾？所谓提倡创新思维，首先要解决思维模式的固化，否则创新思维永远是一句空话。