北京宣武2010年高三第一次质量检测(数学文).doc

北京高考数学专家 18701476427 霍老师
北京市宣武区2009—2010学年度高三第二学期第一次质量检测
数 学 试 题（文）
2010．4
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1．设集合，则下列关系中正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2．设平面向量等于 （ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是奇数又是区间上的增函数的是 （ ）
A． B． C． D．
4．设i是虚数单位，则复数所对应的点落在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若为等差数列，是其前n项和，且，则的值为 （ ）
A． B． C． D．

6．设函数在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若=
（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．设圆C的圆心在双曲线的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线截得的弦长等于2，则a的值为 （ ）
A． B． C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9．把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是 .
10．命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是 .

11．若将下面的展开图恢复成正方体，则的度数为 .

12．执行如图程序框图，输出S的值等于 .
13．设且满足，则的最小值为 ；
若又满足的取值范围是 .

14．有下列命题：
①x=0是函数的极值点；
②三次函数有极值点的充要条件是
③奇函数在区间（-4，4）上是单调减函数.
其中假命题的序号是 .
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题共13分）
已知函数
（I）当a=1时，求函数的最小正周期及图象的对称轴方程式；
（II）当a=2时，在的条件下，求的值.

16．（本小题共13分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=
∠BAD=90°，AD＞BC，E，F分别为棱AB，PC的中点.

（I）求证：PE⊥BC；
（II）求证：EF//平面PAD.

17．（本小题共13分）
某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查.设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.

同意
不同意
合计
教师
1

女生

4

男生

2

（I）请完成此统计表；
（II）试估计高三年级学生“同意”的人数；
（III）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同决的概率.”

18．（本小题共13分）
已知函数
（I）若x=1为的极值点，求a的值；
（II）若的图象在点（1，）处的切线方程为，求在区间[-2，4]上的最大值；
（III）当时，若在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围.

19．（本小题共14分）
已知椭圆的中点在原点O，焦点在x轴上，点是其左顶点，点C在椭圆上且
（I）求椭圆的方程；
（II）若平行于CO的直线和椭圆交于M，N两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.

20．（本小题共14分）
数列的前n项和为，点在直线
上.
（I）求证：数列是等差数列；
（II）若数列满足，求数列的前n项和
（III）设，求证：

参考答案

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一个符合题目要求的）
1—4 DACB 5—8 BCCA
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分）
9．0.12
10．存在一个常数列不是等比数列
11．60°
12．20
13．
14．①
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）
解：（I）
最小正周期为，
由
得 …………7分
（II）当时，解得
…………13分
16．（本题满分13分）
证明：（I）
∴PA⊥BC

∴BC⊥平面PAB
又E是AB中点，
平面PAB
∴BC⊥PE. …………6分

（II）证明：取CD中点G，连结FG，EG，
∵F为PC中点，∴FG//PD

∴FG//平面PAD；
同理，EG//平面PAD

∴平面EFG//平面PAD.
∴EF//平面PAD. …………13分
17．（本题满分13分）
解：（I）守成被调查人答卷情况统计表：

同意
不同意
合计
教师
1
1
2
女生
2
4
6
男生
3
2
5
…………5分
（II）（人） …………8分
（III）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；
其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为 …………13分
18．（本题满分13分）
解：（I）
的极值点，

解得或2. …………4分
（II）是切点，

即
的斜率为-1

代入解得

的两个极值点.

在[-2，4]上的最大值为8. …………10分
（III）因为函数在区间（-1，1）不单调，
所以函数在（-1，1）上存在零点.
而的两根为a-1，a+1，区间长为2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点.
所以
即：

又 …………13分
19．（本题满分14分）
解：（I）设椭圆的标准方程为

又∵C在椭圆上，

∴椭圆的标准方程为 …………5分
（II）设
∵CO的斜率为-1，
∴设直线的方程为
代入刘

又C到直线的距离
的面积

当且仅当时取等号，此时满足题中条件，
∴直线的方程为 …………14分
20．（本题满分14分）
解：（I）上，

同除以
是以3为首项，1为以差的等差数列. …………3分
（II）由（I）可知，
当n=1时，a1=3，
当
经检验，当n=1时也成立，

解得： …………9分
（III）

…………14分

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