高三文科数学015.doc

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期数：0509 SXG3 015
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇十一 高三文科数学总复习六
——函数的定义域

【学法引导】
函数的定义域分为“自然”定义域和“实际”定义域两种，如果给定函数的解析式（不注明定义域），其定义域指的是使该解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），如果函数是由实际问题确定的，这时应根据自变量的实际意义来确定.
【基础知识概要】
如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中. 原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C()叫做函数y=f(x)的值域.
在给出一个函数时，应该明确这个函数的定义域. 一般地，在不加说明时，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，下面分别用例题来说明求函数的定义域的方法.
【应用举例】
1．直接利用函数的解析式求函数的定义域
例1 求下列函数的定义域：

解：（1）要使函数有意义，须使
①
②

解①得 x≥5或x≤－3,
解②得 x≠±4，
∴原不等式组的解为x＜－4或－4＜x≤－3或x≥5,
∴函数的定义域为.
（2）要使函数有意义，应有 ，
设，则，
∴t＞2或t＜1，
由t＞2得，∴，∴x＜－log32,
由t＜1得，∴x＞0,
∴函数的定义域为{x|x＞0，或x＜－log32}.
（3）要使有意义，必须x≠2，所以函数的定义域为{x|x≠2, x∈R}.
（4）解不等式组
∵log31=0， ∴3x－2≠1, 即x≠1，
由3x－2＞0得，
∴函数的定义域是.
说明：求函数的定义域的关键在于根据函数有意义的条件列出不等式或不等式组，因此，在求函数定义域时要把问题考虑周全，正确列出不等式或不等式组，谨防顾此失彼，我们总结了以下几点：
①分式的分母不能为零；
②偶次根式的被开方数非负；
③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
④形如的函数，应使f(x)≠0.
2．求形如（a为常数）的函数的定义域的方法
例2 （1）已知f(x)的定义域[0,1]，求函数f(lgx)的定义域；
（2）已知的定义域为[－1,2], 求f(x)的定义域.
解：（1）∵f(x)的定义域为[0,1]，
∴0≤lgx≤1,
∴1≤x≤10,
∴函数f(lgx)的定义域为[1,10].
（2）∵的定义域为[－1,2]，
∴1≤x≤2，
∴0≤x2≤4，
∴函数f(x)的定义域为[0，4].
此类问题属于求复合函数的定义域，其一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出x的取值范围.
3．求实际问题中的函数定义域的方法
例3 已知长为l的铁丝，现被弯成如图所示的框架（下半部分为矩形，上半部分为半圆形），试把该图形的面积S表示为矩形的一边长x的函数，并求出定义域（长l的铁丝不包括图中虚线部分）.
解：如图，设矩形一边长为x，则它的另一边长为
，
∴，
由题设可知，x＞0，且，
∴，
∴函数的定义域为.
在例3中求函数的定义域时，考虑到矩形的边长为正数的实际意义.
4．求含有参数的函数的定义域的方法
例4 求函数的定义域.
解：要使函数有意义，须使
，即.
（1）若a＞b，则x≥0，此时函数的定义域为；
（2）若a=b，则x∈R，即函数的定义域为R；
（3）若a＜b，则x≤0，此时函数的定义域为.
解此类问题时应注意对参数如何进行讨论，同时讨论要完整、准确.
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【强化训练】
一、选择题
1．已知函数，则f(－x)等于（ ）
A． B．－f(x)
C． D．－f(－x)
2．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数y=f(x)的定义域[－2，2],则函数的定义域是（ ）
A．[－3,3] B．[0,3]
C． D．
4．若函数的定义域是[－1，1],则的定义域是（ ）
A．[－1,1] B．
C． D．[1,4]
5．若函数y = f(x)的定义域[0,1]，则的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．若f(x)的定义域为(2,6)，则的定义域是________.
7．设，且f(5)=17，则f(－5)=________.
8．函数的定义域是________.
三、解答题
9．求函数 的定义域.
10．已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围.
11．已知函数的定义域为R，求a的取值范围.
12．高为h，底面半径为r的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a的速度充水，试求出水面高度y(用时间t表示)的函数，并求其定义域.
参考答案
一、1．A 2．C 3．D 4．C 5．C
二、6． 7．－13 8．
三、9．解：当a＞1时，函数的定义域为{x|x＞0}; 当0＜a＜1时，函数的定义域为{x|x＜0.
10．解：（1）当m=0时，，其定义域为R；
（2）当m≠0时，需使在x∈R的情况下恒成立，
必须满足
解得0＜m≤1，由（1）、（2）可知，0≤m≤1.
11．解：由对数的定义和已知条件可得，不等式对一切x∈R成立.
当时，应有

解得，
当时，若a=1，则2x+1＞0，不能对一切x∈R成立;
若a=－1，不等式化为1＞0，恒成立，
∴符合题意的a的集合为.
12．解：∵，∴，
注满水时，此时，所以函数的定义域为.
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