高三理科数学055.doc

2东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）
期数 0512 SXG3 055
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]

预 习 篇

预习篇四十一 高三理科数学总复习十八
——任意角的三角函数

【考试大纲的要求】
理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义。了解余切、正割、余割的定义。
【基础知识概要】
1．任意角的概念
（1）角的定义：角是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。按射线的旋转的方向可将角分为正角，零角和负角，统称任意角。按角的终边的位置又将角分为象限角以及终边落在坐标轴上的角。
（2）终边相同的角：终边相同的角：任何一个与角终边相同的角，叫做和终边相同的角；与终边相同的角一般可表示为
2．角的度量
（1）角度制：把等于周角的称为1度角；记作
（2）弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度交。记作1rad
（3）角度制与弧度制之间的换算关系

（4）弧度制下的弧长公式与扇形面积公式：
弧长公式：
扇形面积公式：
其中为圆心角所对的弧长，是圆心角的弧度数，为圆的半径。

3．任意角的三角函数的概念
设是一个任意角，的终边上的任一点P的坐标为（x，y），点P与原点的距离为，那么
（1）比值叫做的正弦，记作，即；
（2）比值叫做的余弦，记作，即；
（3）比值叫做的正切，记作，即；
（4）比值叫做的余切，记作，即；
（5）比值叫做的正割，记作，即；
（6）比值叫做的余割，记作.
由此可知，一个任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与P点在终边上的位置无关；正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
4．三角函数的符号
由于用坐标定义三角函数，因而坐标的符号即角α的终边所在的象限可以决定α的三角函数的符号。三角函数值的符号规律可概括为：“一全正，二正弦，三正余切，四余弦”.
5．终边相同的角同一三角函数值相等

【典型例题解析】
例1已知角α的终边经过点，求sinα,cosα,tanα.
解：因为
当
所以，
当
所以，
说明：给出角的终边上一点的坐标，求这个角的三角函数值直接利用定义求解，如果含有参数时，参数的符号不确定要对参数的符号进行讨论。
例2．已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，–2）(x≠0)，且，求sinθ和tanθ的值.
解：，又，即ｒx＝3x
由于x≠0，∴ｒ＝3 ∴x2＋4＝9 x2＝5，x＝±.
当x＝时，P点的坐标是（，－2）.

当x＝－时，P点的坐标是（－，－2）
.

例3．求值：

说明：利用终边相同的角同一三角函数值相等求解，首先将角化成或，因而任意角的三角函数可通过α的三角函数值求得。
例4．（1）已知sinα<0, 且tanα>0, 求α所在的象限；
（2）已知cosα·cotα>0, 求α所在的象限；
(3)已知α为第二象限角，试判断的符号。
（4）设α是第三象限角，且满足，试判断所在的象限。
解：（1）由sinα<0知α在第三、四象限或y轴负半轴上。又由tanα>0知α在第一、三象限，所以为第三象限角。
（2）由cosα·cotα>0,知cosα与cotα同号，故α为第一、二象限角。
（3）∵α为第二象限角，∴0＜sinα＜1,-1＜cosα＜0;∴sin(cosα)＜0,cos(sinα)＞0;
故，
（4）∵α是第三象限的角，∴
即;是第二或第四象限角，
故是第四象限角。
说明：三角函数的符号是由三角函数的定义和各象限内的坐标的符号导出，记忆的口诀是：“一全正，二正弦，三切，四余弦。”
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．第一象限角是锐角 B．锐角是第一象限角
C．小于90°的角是锐角 D．2弧度的角是锐角
2．在“①160°，②480°，③－960°，④－1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
二、填空题
3．第三象限角的集合表示为__________________________.
4．已知角的终边落在直线y=x上，则可以表示为___________________.
5．若角的终边与的终边关于x轴对称，则=_______________.

同步检测[※※级]
一、选择题
1．若是第四限角，则180°－所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．－630° B．－1830° C．30° D．990°
二、填空题
3．已知，那么的取值范围是 .
4．若x为第一象限角，则在中一定取正值的是 .
5．求值：＝ .
6．求值：＝ .

参考答案
同步落实[※级]
一、1．B 2．C
二、3． 4． 5．

同步检测[※※级]
一、1．C 2．A
二、3． 4． 5． 6．