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等差数列教学设计
安徽省泗县第三中学 陈曦
一、教材内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）》（北师大版） 第一章数列第二节等差数列第一课时,主要研究等差数列的定义、通项公式及其应用，从数学知识角度来看，这是一节概念课，也是一节命题课：等差数列的学习，既是对前面学习数列的概念与简单表示法的巩固，也是为后期学习等差数列的前n项和打好基础，具有承上启下的作用；数列作为一种函数，是反映自然规律的基本数学模型，等差数列的学习，能够培养学生观察分析问题的能力和数据处理的能力，使学生体会数字的规律和美妙，让学生认识到数列模型的广泛应用，并且运用该模型解决一些实际问题，同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”等思想方法。
二、学生学情分析
从已有的知识来看，学生已经学习了函数的概念、性质规律和应用，以及数列的概念与简单表示方法；从已有的能力来看，学生已经具备了一定的数学表达能力、数学分析能力和数据处理能力；具备学习这节课所需的知识，但是在对一些条件较为严苛的等差数列的通项公式的求解过程中，学生对一定条件的分析以及数据的应用处理上具有一定的困难。
三、教学目标
1、知识与技能：
（1）能够判断已知数列是否为等差数列；
（2）能够列举出一些生活中的等差数列；
（3）能够根据某些数列的特征，准确地写出其通项公式。
2、过程与方法：
（1）通过观察、分析、发现等过程，探索等差数列的特点及其表示方法；
（2）在等差数列通项公式的推导过程中，体会递推法和叠加法的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：
（1）在探索等差数列的表示方法中感受数学的简洁美；
（2）在求解等差数列的通项公式时，体会数列与函数的辩证关系。
四、教学重点、难点
1、教学重点
总结概括等差数列的定义，观察分析等差数列的性质特点。
2、教学难点
等差数列通项公式的推导。
五、教学过程
（一）等差数列的定义
1、创设情境引入概念
【情境】用PPT展示一些生活中的例子：
(1) 过去的300多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷彗星：1682,1758,1834,1910，你能预测出下一次观测到哈雷彗星的时间吗？
(2)通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随着高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据以下数据估计一下珠穆朗玛峰峰顶（高度8844.43米）的温度。
高度（km）
1
2
3
4
5
6
7
…
9
温度（℃）
28
21.5
15
8.5
2
-4.5
-11
…
-24
28,21.5,15,8.5,2，…，-24
(3)1,1,1,1,1,1,1，…，1
【问题1】观察这些数据有什么共同特点？
【师生活动】引导学生首先分析每列数据的特点，在总结出这些数据的共同特点，由此引出课题。
2、抽象概括形成概念
【问题2】通过对上述数据的观察，你认为该如何定义等差数列？
【师生活动】学生结合上述问题的分析，给出定义；教师给出严格的定义及其相关概念。
定义：一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差（通常用字母 d 表示）。
【问题3】判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项和公差，如果不是，请说明理由：
（1）4,7,10,13,16，…；
（2）31,25,19,13,7，…；
（3）0,0,0,0,0,0，…；
（4） a,a-b,a-2b,…；
（5） 1,2,5,8,11,…。
【师生活动】对于（1），教师应强调定义中“第2项起每一项与它的前一项的差”，从而帮助学生加深对概念的理解；
对于（2）、（3）、（4），教师应引导学生注意到公差d可以是正数、负数、同一字母，也可以为0；
对于（5），教师应强调定义中“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列。
（二） 等差中项的定义
【问题4】①一个等差数列中最少含有几项？②如果a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？
【师生活动】①最少含有三项；②由定义得：A-a=b-A，则A=½（a+b）；反之，若A=½（a+b），则A-a=b-A，所以a，A，b成等差数列。
等差中项的定义：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项A=½（a+b）。
【问题5】已知A,B,C是三角形的三个内角，且B是A和C的等差中项，求角B的大小。
【师生活动】根据等差中项的定义和三角形内角和的性质解答，进一步强调等差中项的定义。
（三）等差数列通项公式的推导
1、迭代法推导等差数列的通项公式
【情境】教师板书下列等式：
a2-a1=da2=a1+d
a3-a2=da3=a2+d=a1+2d
a4-a3=da4=a3+d=a1+3d
……
an-an-1=dan=an-1+d=a1+(?)d
【问题6】观察上列等式，我们可以猜想an=a1+(?)d
【师生活动】教师引导学生发现规律得出公式an=a1+(n-1)d
2、叠加法推导等差数列的通项公式
【情境】教师板书下列等式：
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
……
an-an-1=d
【问题7】观察上列等式，把等式的左右两边分别相加，可得到一个什么样的式子？
【师生活动】教师引导学生对（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+……+（an-an-1）=(n-1)d进行化简，从而得到等差数列的通项公式：已知等差数列是的首项为a1，公差为d,则等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d (n≥1,n∈N+,d是常数)
（四）等差数列和一次函数的关系
【问题8】已知数列{an}的通项公式是an=pn+q，p、q是常数，
求证：{an}为等差数列。
【师生活动】利用等差数列的定义进行证明，并得到一般性结论：数列{an}为等差数列an=pn+q，p、q是常数。这个结论提供了一个证明某数列是等差数列的一个常用方法。
【问题9】画出下列等差数列的图像，并与相对应的一次函数图像进行比较，得出区别和联系：
（1） an=2n-4（y=2x-4）；（2）an=-3n+10（y=-3x+10）；（3）an=4（y=4）
【师生活动】画出等差数列的图像后，发现等差数列an=pn+q的图像是落在对应的一次函数y=px+q图像（直线）上的彼此孤立的点的集合。并引导学生得到以下特征：
当d＞0时，函数是增函数，数列是递增数列；
当d＜0时，函数是减函数，数列是递减数列；
当d=0时，函数是常数函数，数列是常数列。
（五） 课后作业：习题1-2 A组第7、8题。
六、 课堂小结
1、 本节课利用具体的例子，观察所给数据有什么特点，让学生自己观察，小组讨论小组代表发言，老师点评补充学生的总结，从而给出等差数列的定义，学生自己观察出从第二项起，差是同一个常数，这很关键。
2、 定义形成后，借助例题总结体会等差数列的基本量是首项和公差，本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣。
3、 在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。