初高中衔接_第四讲_不_等_式.doc

400-810-2680 好学者智，善思者康
第四讲 不 等 式
初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．
一、一元二次不等式及其解法
1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式．
【例1】解不等式．
分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．
解：原不等式可以化为：，
于是：或
所以，原不等式的解是．
说明：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．
【例2】解下列不等式：
(1) (2)
分析：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数．
解：(1) 原不等式可化为：，即
于是：
所以原不等式的解是．
(2) 原不等式可化为：，即
于是：
所以原不等式的解是．
2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)．
以二次函数为例：
(1) 作出图象；
(2) 根据图象容易看到，图象与轴的交点是，即当时，．就是说对应的一元二次方程的两实根是．
(3) 当时，，对应图像位于轴的上方．就是说的解是．
　　当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是．
一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：
(1) 将二次项系数先化为正数；
(2) 观测相应的二次函数图象．
①如果图象与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ．
那么(图1)：

②如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ．
那么(图2)：
无解
③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ．
那么(图3)： 取一切实数
无解
如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：
(1) 化二次项系数为正；
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；
(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解．
【例3】解下列不等式：
(1) (2) (3)
解：(1) 不等式可化为 ∴ 不等式的解是
(2) 不等式可化为 ∴ 不等式的解是
(3) 不等式可化为．
【例4】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．
解：显然不合题意，于是：

【例5】已知关于的不等式的解为，求的值．
分析：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解．
解：由题意得：
说明：本例也可以根据方程有两根和，用代入法得：，，且注意，从而．
二、简单分式不等式的解法
【例6】解下列不等式：
(1) (2)
分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．
(2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．
解：(1) 解法(一)
原不等式可化为：

解法(二)
原不等式可化为：．
(2) ∵
原不等式可化为：
【例7】解不等式
解：原不等式可化为：
说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．
(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
三、含有字母系数的一元二次不等式
一元一次不等式最终可以化为的形式．
(1) 当时，不等式的解为：；
(2) 当时，不等式的解为：；
(3) 当时，不等式化为：；
① 若，则不等式的解是全体实数；② 若，则不等式无解．
【例8】求关于的不等式的解．
解：原不等式可化为：
(1) 当时，，不等式的解为；
(2) 当时，．
① 时，不等式的解为；
② 时，不等式的解为；
③ 时，不等式的解为全体实数．
(3) 当时，不等式无解．
综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解．
【例9】已知关于的不等式的解为，求实数的值．
分析：将不等式整理成的形式，可以考虑只有当时，才有形如的解，从而令．
解：原不等式可化为：．
所以依题意：．

练 习

A 组
1．解下列不等式：
(1) (2)
(3) (4)
2．解下列不等式：
(1) (2)
(3) (4)
3．解下列不等式：
(1) (2)
4．已知不等式的解是，求的值．
5．解关于的不等式．
6．已知关于的不等式的解是，求的值．
7．已知不等式的解是，求不等式的解．

B 组
1．已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围．
2．若不等式的解是，求的值．
3．解关于的不等式．
4．取何值时，代数式的值不小于0？
5．已知不等式的解是，其中，求不等式的解．

第四讲 不等式答案
A 组
1．
2．
3．(1) 无解 (2) 全体实数
4．．
5．(1)当时，；(2)当时，；(3) 当时，取全体实数．
6．
7．

B 组
1．
2．
3．(1) 时，；(2) 时，无解；(3) 时，．
4．．
5．．

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