宿州市2013届高三第一次质量检测数学（文科）试题.doc

宿州市2013届高三第一次质量检测
数学（文科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：锥体的体积公式,其中是锥体的底面积，是锥体的高.
如果事件互斥，那么.
第Ⅰ卷（选择题 满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数的实部和虚部相等，则实数等于
A． B． C． D．
2 设全集U＝R，集合A＝{y|y=x2+2x,x∈R}则＝
A {－1，+} B (－1，+) C {－，-1] D(，-1)
3 下列双曲线中，渐近线方程是y=2x的是
A B C D
4设O为坐标原点，M（1，2），若N（x,y）满足，则的最大值为
A 4 B 6 C 8 D10
5. 是的
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是
正视图 侧视图
D.
正视图 侧视图
B.
正视图 侧视图
A.
正视图 侧视图
C.

7.定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为
开始
输入a，b
a≥b?
输出a（b+1）
输出b（a+1）
结束
是
否
A．13 B．11 C．8 D．4
8.在空间四边形中，分别为的中点，若则与所成的角为
A． B． C． D．
9.对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为，如果是偶数，则把乘以2后再减去2；如果是奇数，则把除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数，对仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数.当时，甲获胜，否则乙获胜.若甲获胜的概率为，则的值不可能是
A．0 B．2 C．3 D．4
10.已知函数中，常数那么的解集为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置上.
11.已知向量是单位向量，若向量满足，则的取值范围是 .
12.两圆相交于两点和，两圆圆心都在直线上，且均为实数，则 .
13.已知，且，则的最小值是 .
14.已知数列满足.定义：使乘积…为正整数的叫做“简易数”.则在内所有“简易数”的和为 .
15.以下五个命题： ①标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1； ③在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.4个单位； ④对分类变量X与Y来说，它们的随机变量的观测值越小，“X与Y有关系”的把握程度越大； ⑤在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.
其中正确的命题是： （填上你认为正确的命题序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知为的三内角，且其对边分别为．若向量，，向量，，且.
(1)求的值； (2)若，三角形面积，求的值．

17．（本小题满分12分）
频率
组距
0．008
50
60
90
100
分数
在“2012魅力宿州”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图，据此回答以下问题：
叶
茎
５
６
７
８
９
６　８
２　３　３　５　６　８　９
１　２　２　３　４　５　６　７　８　９

５　８

(1)求参赛总人数和频率分布直方图中，之间的矩形的高，并完成直方图；
(2)若要从分数在，之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在，之间的概率．

18.（本小题满分12分）
设函数.
(1)对于任意实数，在恒成立（其中表示的导函数），求的最大值；
(2)若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围.

19.（本小题满分13分）
如图，四边形为矩形，平面，为上的点，且平面.
(1)求证：； (2)求三棱锥的体积；
M
B
C
A
D
E
F
(3)设在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面.

20．（本小题满分12分）
椭圆的左、右焦点分别为、，点，满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与圆相交于两点，且，求椭圆的方程．

21．（本小题满分14分）
已知函数，，满足，.
(1)求，的值；
(2)若各项为正的数列的前项和为，且有，设，求数列的前项和；
(3)在(2)的条件下，证明：.

黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测
数学试题答案 （文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
A
D
C
B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 12.3 13. 14.2036 15.③⑤
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
解：（1）∵向量，向量，且.
∴， …………………………………………………………………3分
得，又，所以. …………………………………………5分
（2），∴. ………………………………7分
又由余弦定理得：.……………………………9分
∴，所以. …………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：(1)由茎叶图知，分数在之间的频数为2.
频率
组距
0．04
0．028
0．016
0．008
50
60
70
80
90
100
分数
由频率分布直方图知，分数在之间的频率为.
所以，参赛总人数为(人)．………………………2分
分数在之间的人数为（人）,
分数在之间的频率为，
得频率分布直方图中间矩形的高为.………4分
完成直方图，如图.……………………………………………………………………………6分
(2)将之间的4个分数编号为之间的个分数编号为.则在之间任取两份的基本事件为：
共15个，其中至少有一个在之间的基本事件为:共9个. ………………………10分
故至少有一份分数在之间的概率是.……………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：(1), .
法一：在恒成立在恒成立.…………………3分
由在的最小值为，
所以,得，即的最大值为. …………………………………………………6分
法二：令，.
要使在恒成立，则只需在恒成立.
由于的对称轴为,当时，，
解得，所以的最大值为.……………………………………………………6分
(2)因为当时, ；当时, ；当时, ；
即在和单增，在单减.
所以，.………………………………9分
故当或时,方程仅有一个实根.
得或时，方程仅有一个实根.
所以.………………………………………………………………12分
19．（本小题满分13分）
M
B
C
A
D
E
F
G
N
证明：（1）∵平面，且
∴平面，则.………………………………………2分
又∵平面，则，且与交于点，
∴平面，又平面 ∴.………………4分
（2）由第（1）问得为等腰直角三角形，易求得边上的高为，
∴.…………………………………………………7分
（3）在三角形中过点作交于点，在三角形中过点作交于点，连.
由比例关系易得.………………………………………………………………9分
∵平面,平面，
∴平面. 同理，平面，且与交于点，
∴平面.………………………………………………………………11分
又， ∴.
∴点为线段上靠近点的一个三等分点.…………………………………………13分
20．（本小题满分12分）
解：(1)设，因为，
所以. …………………………………………………………………2分
整理得，得(舍)，或.
所以.……………………………………………………………………………………4分
(2)由(1)知，椭圆方程，的方程为．
两点的坐标满足方程组，消去并整理，得.
解得.得方程组的解，.………………………7分
不妨设，则.
于是.
圆心到直线的距离.………………10分
因为，所以，整理得.
得 (舍)，或.
所以椭圆方程为. ……………………………………………………………12分
21．（本小题满分14分）
解：(1)由 ，
由代入可得，且.……………………………………………………2分
当时，（成立），当时，（舍去）.
所以，.…………………………………………………………………………4分
(2)，即.
时， .
所以，当时，由可得，
整理得，.
又得，且，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，即，.
. ………………………………………………………………………………7分
，
，
由上两式相减得 .
. ……………………………………………………………………10分
(3)由(2)知，只需证.设(且).
则，
可知在上是递减，.
由，则，
故. …………………………………………………………………………14分