八年级数学学案第三章：图形的平移与旋转_教师精编用.doc

第三讲：图形的平移与旋转
【知识精讲】
知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系
（1）区别。
①三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。
②三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。
③对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。
④三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。
（2）联系。
①它们都在平面内进行图形变换
②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。
③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。
知识点2 组合图案的形成
（1）确定图案中的“基本图案”。
（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。
（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。
要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。
运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系，头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。
整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的组合。
知识点3 利用平移、旋转和轴对称的知识解决几何问题
在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。
移动图形一般有三种方法：
（1）平移法。
（2）旋转法：利用旋转变换。
（3）对称：可利用中心对称和轴对称。
知识点4 欣赏现实生活中的一些精美图案
通过欣赏现实生活中的一些精美图案，引起学生的兴趣。
通过分析它们的形成过程，为今后进行图案设计提供素材。

知识点5 图案设计的步骤
1、整体构思
（1）图案的设计要突出“主题”，即设计图案的意图，要求简捷、自然、别致，具有一定的意义，例如，奥运会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五大洲的人民热爱体育运动，携手共创美好的未来。
（2）确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案”（不宜太复杂）。
（3）构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成。再构思如何运用平移、旋转、轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出草图。
2、具体作图
根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案。有条件的同学可用几何画板画出满意的图案。

【典型例题】
例1. 如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。

分析：假设桥为MN，从A→B要走的路程为AMNB，要使路程最近，只需AM＋NB最小即可。

例2. 在△ABC的边BC上，取两点D、E，使BD＝CE，观察AB＋AC与AD＋AE的大小关系。

分析：四条线段AB、AC、AD、AE比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起，即可求出大小关系。
证明：将△AEC沿EB的方向平移到△FBD位置
∴FB＝AE，FD＝AC
设FD与AB的交点为O
在△AOD中，AO＋OD＞AD
在△FOB中，FO＋OB＞FB

例3. 已知：AB＝CD＝1，AB与CD交于O点，∠DOB＝60°，比较AC＋BD与1的大小。

分析：利用平移将AC与BD集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。
解：
证明：过C作CE∥AB，过B作BE∥AC，连结DE
∴四边形ABEC为平行四边形
∴AC＝BE，AB＝CE
∵∠DOB＝60°，AB∥CE
∴∠DCE＝60°
∵AB＝CD＝1
∴CE＝CD＝1
∴△DCE为等边三角形
∴DE＝1
在△DEB中，DB＋BE＞DE
即DB＋AC＞1

例4. 已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝BE＋DF的理由。

分析：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。
解：把△ADF绕点A顺时针旋转90°，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：
∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD
∵ABCD为正方形
∴∠D＝∠ABF'＝90°
∴F'、B、E、C在一条直线上
又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠F'AE＋∠2＝90°
又∵∠AFD＋∠1＝90°
∴∠AF'B＋∠1＝90°
∵∠1＝∠2
∴∠F'AE＝∠AF'B
∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE

例5. 如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与CB重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求∠APB的度数。

分析：此题运用旋转将△ABP绕点B顺时针旋转90°，根据旋转性质求出∠BP'C的度数即可。
而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和，可各个击破，从而得解。
解：由旋转的性质及特征可知：
∠PBP'＝90°，AP⊥P'C，BP＝BP'
∴在△BPP'中，
又∵AP的延长线正好经过P'点
∴∠AP'C＝90°
∴∠BP'C＝∠AP'C＋∠BP'P＝135°
从而可得∠APB＝135°

例6. 已知：如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AE⊥FG。
求证：AE＝FG

分析：AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。
证明：延长AB至F'使BF'＝BE，连结CF'
∵正方形ABCD
∴AB＝CB，∠ABC＝90°
又∵∠CBF'＝90°，BE＝BF'
∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'
∴AE＝CF'，AE⊥CF'
∵FG⊥AE
∴FG∥CF'
又∵正方形ABCD，AB∥CD
∴四边形GFF'C为平行四边形
∴CF'＝FG
∴AE＝FG

例7. 如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PE⊥AD于E，PF⊥CD于F。
求证：（1）OE⊥OF
（2）OE＝OF

分析：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。
证明：∵正方形ABCD
∴∠ADC＝90°，∠DAC＝45°
∵DE⊥AD，∴∠PED＝90°
∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°
∴四边形EPFD为矩形
∴PE＝DF
又∵∠PED＝90°，∠DAC＝45°
∴∠APE＝45°
∴△AEP中，AE＝PE
∴AE＝DF
∵正方形ABCD为中心对称图形
∴△AOD绕点O顺时针旋转90°与△DOC重合
∴A与D为对应点
又∵AE＝DF
∴E与F为对应点
由旋转变换的特征知：OE⊥OF，OE＝OF

例8. △ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且AE＝BF＝CD，连结AF、BD、CE，分别交于点G、H、M。
（1）求∠1的度数；
（2）判断△GMH的形状。

分析：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60°，∠1是△BCH的外角，可知∠1＝∠2＋∠3。
而∠2＝∠4
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°，从而得证。
解：（1）∵等边△ABC是旋转对称图形，且AE＝BF＝CD
所以，△ABC绕旋转中心旋转120°后，△AEC、△BFA、△CDB能够重合
∴∠2＝∠4
由∠1＝∠2＋∠3
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°
（2）同理可得：∠GMH＝∠MGH＝60°
∴△GMH是等边三角形

【同步拓展训练】
1. 两个长为12cm的线段AB与CD相交于点O，∠AOD＝120°，判断AC＋BD的最小值。
2. 如图△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，如果AP＝3，那么△APQ的面积是多少？

3. △ABC是等边三角形，D为BC边上一点，△CDE也为等边三角形，请你画出将△ACD以C点为旋转中心，逆时针方向旋转60°后的三角形，并说明AD与BE的关系。

4. 在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若，求DP的长。

5. △ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕点D顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB＝3，AC＝2。
（1）求∠BAD的度数；
（2）求AD的长。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）A卷
一、选择题
1. 国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到（ ）
A. 轴对称 B. 平移 C. 旋转 D. 平移和旋转
2. 起重机将重物垂直提起，这可以看作为数学上的（ ）
A. 轴对称 B. 平移 C. 旋转 D. 变形

二、填空题
3. 广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和_______等。
4. 将点A绕另一个点O旋转一周，点A在旋转过程中所经过的路线是_______。
5. 以等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线为对称轴，作这个△ABC的对称图形△，则所得到的四边形ACBC′一定是_______。
6. 国际奥委会会旗上的五环图案可以看作一个基本图案______经过______运动得到。
7. 利用电脑，在同一页面上对某图形进行复制，得到一组图案，这一组图案可以看作是一个基本图形通过_______得到的。

三、解答题
8. 如图，是一个可以自由转动的圆盘，圆盘被分成6个全等的扇形.它可以看作是由什么“基本图案”通过怎样的旋转得到的？

9. 如图，一栅栏顶部是由全等的三角形组成，下部分是由全等的矩形组成.请你运用平移、旋转、轴对称分析说明这个图形的形成过程。

10. 请你分析下面图案的形成过程。

11. 下图是两个全等的直角三角形，请问怎样将△BCD变成△EAB？

12. 以一直角三角形为“基本图形”，利用旋转而得到一个风车风轮图案.你能设计出几种风车风轮图案呢？请将你的图案画出来，完成后与同学进行交流。
13. 将底边水平放置的等腰三角形沿底边的垂直平分线分别向上、向下平移1厘米，得到一组等腰三角形，连同垂直平分线形成的图案你能给出它的含义吗？
将得到的图案作为“基本图案”作两次适当的平移形成一组图案。这一组图案又有什么意义呢？
14. 请充分发挥你的想象力，任意设计一个有意义的图案，完成后与同学交流你的作品。
15. 下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的？
（1）
（2）
（3）
16. 怎样将下图中的甲图变成乙图？

17. 如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB，
（1）求证：△ABE≌△ADF。
（2）阅读下列材料：如图②，把△ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换。

请回答下列问题：
<1>在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？
<2>指出图①中线段BE与DF之间的关系.

B卷1、将如图1所示的Rt△ABC绕直角边BC旋转一周，所得几何体的左视图是（　　）
D
A
B
C
C
B
A
图1

2、如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么∆AEG的面积的值 （ ）
A

B
C
D
G
E
F
第3题图
A．与m、n的大小都有关 B．与m、n的大小都无关
C．只与m的大小有关 D．只与n的大小有关

3、如图，线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且，CE由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是：（ ）
A、 B、 C、 D、无法确定

（第4题图） （第5题图） （第6题图）
4、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形，则图中阴影部分面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、如图，点P是等边三角形ABC内部一点，，则以PA、PB、PC为边的三角形的三内角之比为（ ）
A、2：3：4 B、3：4：5 C、4：5：6 D、不能确定
6、如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到．
（1）在正方形网格中，作出；（不要求写作法）
B
C
A
（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留）

第7题图

7、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
M
B
C
N
图3
A
D
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由．
B
C
N
M
图2
A
D
B
C
N
M
图1
A
D

8、如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果的周长为2，求的度数。

图乙
图甲

9、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图甲），连结BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．
⑴试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；
⑵小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图乙），设旋转角为β(0°＜β＜ 90°), 当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；
10、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知，。思考一段时间后，一位木工师傅说：“我可以把两块木板拼成一个正方形。”另一位木工师傅说：“我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形。”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？画出图形，并说明理由。

11、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

12、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．

A
B
C
D
P

试题答案
一、1. D 2. B
二、3. 旋转 4. 圆 5. 正方形 6. 圆环 四次平移 7. 平移
三、8~10略
11. △DCB先以C为旋转中心逆时针旋转90°，然后再向右平移，使点C与A重
12. 略
13. 树 森林
14. 略
15. 第一幅图是由基本图形“A”经过平移或旋转而得到的。
第二幅图是由基本图形“B”旋转而得到的。
第三幅图是由基本图形“”向上旋转180°再向下平移而得到的。
16. 将甲图向右平移一定距离再顺时针旋转一定角度而得到的。
17. （1）证明：∵ABCD为正方形
∴AB=AD，∠DAB=∠DAF=90°
又∵AF=AB，AE=AD
∴AF=AE，∴△ADF≌△ABE
（2）<1>将△ABE绕点A逆时针旋转90°而得到△AFD。
<2>BE⊥DF，BE=DF

用心 爱心 专心