备考2011高考数学基础知识训练(16).doc

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备考2011高考数学基础知识训练（16）
班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 复数z＝（m－1）i＋ m2－1是纯虚数，则实数m的值是 ．

2． 化简：＝ ．

3． 设则f（f（2））的值是 ．

4． 若数列{an}的通项公式an＝，记，试通过计算，，的值，推测出＝ ．

5． 函数y＝cosx的图象在点（，）处的切线方程是 ．

6． 已知α，β均为锐角，且，，则 ．

7． 估测函数f(x)=的零点所在区间是_________(要求区间长度，e ≈ 2.71)

8． 某海域上有A，B，C三个小岛，已知A，B之间相距8 n mile，A，C之间相距5 n mile，在A岛测得∠BAC为60°，则B岛与C岛相距 n mile．

9．函数的单调递增区间是 ．

1,3,5
10．若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则这条直线在y轴上的截距是 ．

11．集合A＝，B＝，则A∩B＝ ．

12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．

13．下列各函数：
① ②， ③ ④
其中最小值为2的函数有 ．（写出符合的所有函数的序号）

14．已知满足约束条件的最小值是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）已知函数，函数与的图象关于原点对称.
（1）求函数的解析式；（2）解不等式.

16．（本题满分14分）已知向量a=（3sinα，cosα），b=(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．
（1）求tanα的值； （2）求cos()的值．

17．（本题满分14分）已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆有相同的焦点．
（1）求双曲线的标准方程；（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

18．（本题满分16分）已知各项均为正数的等差数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn＝an2＋5an＋6；等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a15；数列{cn}满足cn＝anbn．
（1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{cn}的前n项和Tn．

19．（本题满分16分）国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：，各种类型家庭的n如下表所示：
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
n
n>60%
50%<n≤60%
40%<n≤50%
30%<n≤40%
n≤30%
根据某市城区家庭抽样调查统计，2003年初至2007年底期间，每户家庭消费支出总额每年平均增加720元，其中食品消费支出总额每年平均增加120元；
（1）若2002年底该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额9600元，问2007年底能否达到富裕？请说明理由；
（2）若2007年比2002年的消费支出总额增加36%，其中食品消费支出总额增加12%，问从哪一年底起能达到富裕？请说明理由．

20．（本题满分16分）已知函数．
（1）若函数在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a的值；
（2）是否存在正整数a，使得在（，）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．

参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．－1
2．
3．0
4．
5．＝0
6．
7．（0.5，0.75）不唯一
8．7
9．
10．1
1,3,5
11．（－1，2）
12．；
13．④
14．5

二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．解：（1）设任一点，其关于原点对称点在图象上，则 ，即 ……………..4分
……………..7分
（2）
， ……………..9分
化简得，即 …………11分
即不等式的解集为 ………………14分

16． 解：（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．
而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，
故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．………………………………2分
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4 ＝0．
解之，得tanα＝－，或tanα＝．………………………………………6分
∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．………7分
（2）∵α∈（），∴．
由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．
∴，………………………………………………12分
cos()＝
＝ ＝． …………………………14分

17． 解：（1）由题意，椭圆的焦点为（），…………………2分
即c＝，设所求双曲线的方程为．…………………… 4分
∵双曲线过点（3，－2），∴．
∴，或（舍去）． ……………………………………………7分
∴所求双曲线的方程为．…………………………………………8分
（2）由（1），可知双曲线的右准线为 ．
设所求抛物线的标准方程为，则． ………………12分
∴所求抛物线的标准方程为． …………………………………14分

18． 解（1）∵10Sn＝an2＋5an＋6， ① ∴10a1＝a12＋5a1＋6．
解之，得a1＝2，或a1＝3．………………………………………………………2分
又10Sn－1＝an－12＋5an－1＋6（n≥2）， ②
由①－②，得 10an＝（an2－an－12）＋6（an－an－1），即（an＋an－1）（an－an－1－5）＝0．
∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝5（n≥2）．…………………………………………5分
当a1＝3时，a3＝13，a15＝73．a1， a3，a15不成等比数列，∴a1≠3．
当a1＝2时，a3＝12，a15＝72，有 a32＝a1a15．……………………………………7分
∴数列{bn}是以6为公比，2为首项的等比数列，bn＝2×6n－1． ……………9分
（2）由（1）知，an＝5n－3 ，cn＝2（5n－3）6n－1．
∴Tn＝2[2＋7×6＋12×62＋…＋（5n－3）6n－1]， ………………………11分
6 Tn＝2[2×6＋7×62＋12×63＋…＋（5n－3）6n]，
∴－5 Tn＝2[5×6＋5×62＋…＋5×6n－1] ＋4－2（5n－3）6n………………13分
＝＋4－2（5n－3）6n＝（8－10n）6n－8．
Tn＝．……………………………………………………………16分

19．解：（1）因为2002年底刚达到小康，所以n=50% …………2分
且2002年每户家庭消费支出总额为9600元，
故食品消费支出总额为9600×50%=4800元 …………4分
则，即2007年底能达到富裕
…………8分
（2）设2002年的消费支出总额为a元，则
从而求得元， …………10分
又设其中食品消费支出总额为
从而求得元 …………12分
当恩格尔系数为，
解得 …………14分
则6年后即2008年底起达到富裕 …………16分

20． 解 （1）∵在（，1）上递减，在（1，＋∞）上递增，
∴f′（x）＝3x2＋2ax－2， ……………………………………………2分
f′（1）＝0，∴a＝－． ……………………………………………6分
（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．
∵△＝4a2＋24＞0，∴方程有两个实根，……………………………………8分
分别记为x1 x2．由于x1·x2＝－，说明x1，x2一正一负，
即在（，1）内方程f′（x）＝0不可能有两个解．……………………10分
故要使得在（，）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是
f′（）·f′（）＜0，即（＋a－2）（＋a－2）＜0．…………… 13分
解得． …………………………………………………………………15分
∵a是正整数，∴a＝2．…………………………………………………………16分