指派问题的匈牙利法.ppt

指派问题指派问题指派问题是一种特殊的整数规划问题一、一、问题的提出的提出 设有m个工人，能做n件事，但效率不同，并规定每个工人做且只能做一件事，每件事有且只能有一个工人做，问应该如何安排他们的工作，使花费的总时间（成本）最少或效率最高？二、指派问题的数学模型二、指派问题的数学模型设第i个工人做第j件事的时间是 ，决策变量是则数学模型如下举例说明举例说明1）表上作业法）表上作业法2）匈牙利法）匈牙利法例 有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示，问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？任务1任务2任务3任务4工人1工人2工人3工人4215134104147314161378119获得初始解：圈零获得初始解：圈零/划零操作划零操作将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行和每一列都含有零；从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来，并划去它所在行和所在列的其它零；反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。得到初始解。判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。确定调整行和列确定调整行和列在没有圈起的零所在行上打“”；在打“”行中所有零所在的列打“”；在打“”列中含有圈起零的行上打“”，反复执行2）和3）两步，直到不能打“”为止；用直用直线划去打划去打“”的列和不打的列和不打“”的行的行，没有划去的行构成调整的行，划去的列构成调整列。调整可行解的方法调整可行解的方法在调整行中寻找最小的元素，将它作为调整量；将调整行各元素减去调整量，对调整列中各元素加上调整量。再次执行“圈零”和“划零”的操作，并循环以上的步骤，直到圈起的零数等于n为止。匈牙利法解例匈牙利法解例3.3时间矩阵各行各列减去最小元素后得圈零划零圈零划零得最优解得最优解将圈起的零改为1，其它元素改为0，即得最优解如下最小总时间为22。再看一例再看一例请求解如下矩阵表达的指派问题 减去最小元素减去最小元素圈零划零圈零划零打勾划线确定调整行和列打勾划线确定调整行和列调整可行解调整可行解再圈零划零再圈零划零得最优解得最优解另一最优解另一最优解最小时间（成本）min z=32 匈牙利算法示例匈牙利算法示例 （二）、解题步骤：（二）、解题步骤：指派问题是指派问题是0-1 0-1 规划的特例，也是运输问题的特例，规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，当然可用整数规划，0-1 0-1 规划或运输问题的解法去求规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即匈牙利法，即系数矩阵中独立系数矩阵中独立 0 0 元素的最多个数等于元素的最多个数等于能覆盖所有能覆盖所有 0 0 元素的最少直线数。元素的最少直线数。第第一一步步：变变换换指指派派问问题题的的系系数数矩矩阵阵（cij）为为(bij)，使使在在(bij)的各行各列中都出现的各行各列中都出现0元素，即元素，即 (1)从（从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素；）的每行元素都减去该行的最小元素；(2)再再从从所所得得新新系系数数矩矩阵阵的的每每列列元元素素中中减减去去该该列列的的最最小元素。小元素。第二步：进行试指派，以寻求最优解。第二步：进行试指派，以寻求最优解。在在(bij)中中找找尽尽可可能能多多的的独独立立0元元素素，若若能能找找出出n个个独独立立0元元素素，就就以以这这n个个独独立立0元元素素对对应应解解矩矩阵阵(xij)中中的的元元素素为为1，其其余余为为0，这这就就得得到到最最优优解解。找找独独立立0元元素素，常常用的步骤为：用的步骤为：(1)从从只只有有一一个个0元元素素的的行行(列列)开开始始，给给这这个个0元元素素加加圈圈，记记作作。然然后后划划去去 所所在在列列(行行)的的其其它它0元元素素，记记作作；这这表表示示这这列列所所代代表表的的任任务务已已指指派派完完，不不必必再再考考虑别人了。虑别人了。(2)给给只只有有一一个个0元元素素的的列列(行行)中中的的0元元素素加加圈圈，记记作作；然后划去；然后划去 所在行的所在行的0元素，记作元素，记作 (3)反反复复进进行行(1)，(2)两两步步，直直到到尽尽可可能能多多的的0元元素素都都被圈出和划掉为止。被圈出和划掉为止。(4)若若仍仍有有没没有有划划圈圈的的0元元素素，且且同同行行(列列)的的0元元素素至至少少有有两两个个，则则从从剩剩有有0元元素素最最少少的的行行(列列)开开始始，比比较较这这行行各各0元元素素所所在在列列中中0元元素素的的数数目目，选选择择0元元素素少少的的那那列列的的这这个个0元元素素加加圈圈(表表示示选选择择性性多多的的要要“礼礼让让”选选择择性性少少的的)。然然后后划划掉掉同同行行同同列列的的其其它它0元元素素。可可反反复复进进行行，直直到所有到所有0元素都已圈出和划掉为止。元素都已圈出和划掉为止。（5）若）若 元素的数目元素的数目m 等于矩阵的阶数等于矩阵的阶数n，那么这指，那么这指派问题的最优解已得到。若派问题的最优解已得到。若m n,则转入下一步。则转入下一步。第三步：作最少的直线覆盖所有第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。元素。(1)对没有对没有的行打的行打号；号；(2)对已打对已打号的行中所有含号的行中所有含元素的列打元素的列打号；号；(3)再对打有再对打有号的列中含号的列中含 元素的行打元素的行打号；号；(4)重复重复(2)，(3)直到得不出新的打直到得不出新的打号的行、列为止；号的行、列为止；(5)对对没没有有打打号号的的行行画画横横线线，有有打打号号的的列列画画纵纵线线，这这就就得得到到覆覆盖盖所所有有0元元素素的的最最少少直直线线数数 l。l 应应等等于于m，若若不不相相等等，说说明明试试指指派派过过程程有有误误，回回到到第第二二步步(4)，另另行行试试指指派派；若若 lm n，须须再再变变换换当当前前的的系系数数矩矩阵阵，以找到以找到n个独立的个独立的0元素，为此转第四步。元素，为此转第四步。第四步：变换矩阵第四步：变换矩阵(bij)以增加以增加0元素。元素。在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打打各行都减去这最小元素；打各行都减去这最小元素；打各列都加上这最小元各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。的最优解和原问题仍相同。转回第二步。例一：例一：任务任务人员人员ABCD甲甲215134乙乙1041415丙丙9141613丁丁78119249742 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？任务任务人员人员ABCD甲甲67112乙乙4598丙丙31104丁丁5982例二、例二、求解过程如下：求解过程如下：第一步，变换系数矩阵：第一步，变换系数矩阵：5第二步，试指派：第二步，试指派：找到找到 3 3 个独立零元素个独立零元素 但但 m m=3 3 n=4 第三步，作最少的直线覆盖所有第三步，作最少的直线覆盖所有0 0元素：元素：独立零元素的个数独立零元素的个数m等于最少直线数等于最少直线数l，即，即lm=3n=4；第四步，变换矩阵第四步，变换矩阵(bij)以增加以增加0 0元素：没有被直线覆元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为盖的所有元素中的最小元素为1 1，然后打，然后打各行都减去各行都减去1 1；打；打各列都加上各列都加上1 1，得如下矩阵，并转第二步进行，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：试指派：000 0 00得到得到4 4个独个独立零元素，立零元素，所以最优解所以最优解矩阵为：矩阵为：15练习：练习：115764戊戊69637丁丁86458丙丙9117129乙乙118957甲甲EDCBA费费 工作工作 用用人员人员-1-2l=m=4 n=5l=m=4 n=5此问题有多个最优解此问题有多个最优解28用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：阵分别如下：