混合式步进电动机驱动系统电磁谐振问题的研究.doc

混合式步进电动机驱动系统电磁谐振问题的研究
童　怀　任　雷　郑大鹏
　　摘要　根据步进电动机绕组的具体通电情况，从电路拓扑结构的周期性变化规律中归纳出了驱动系统的统一等效电路，在此基础上讨论了系统的电磁谐振问题，并计算了电路的谐振频率，通过理论计算和实验验证，指出驱动系统的电磁谐振是步进电机升速过程中产生振荡的一个重要原因。本文的研究在交流伺服系统的运行性能分析中具有一定的普遍意义。
　　关键词：　步进电动机　等效电路　电磁谐振
The Electric Resonance in the Hybrid Step Motor Drive System
Tong Huai　(Guangdong University of Technology　510643　China)
Ren Lei　(Qinghua University　100084　China)
Zheng Dapeng　(Harbin Institute of Technology　150001　China)

　　Abstract　The paper gives the equivalent electric circuit of the hybrid step motor drive system, based on the work mode of the windings and the changing regularity of the circuit. The electric resonance in the drive system, is analyzed and the electric resonance is regarded as a reason causing the oscillation of the step motor in low frequency band. The problem discussed in this paper has some popular significance in AC servo system.
　　Key words：　Step motor　Equivalent electric circuit　Electric resonance
1　前言

　　混合式步进电动机的驱动系统本质上是一种开关电源，因此对驱动系统中电感、电容等参数的设计计算一般采用了开关电源，文献［1，2］中提出的方法。但是这种开关电源的负载是特定的步进电机，针对这一特定的负载，有必要建立数学模型作深入的研究。
　　步进电动机的低频振荡一般认为是由于电机的机械谐振引起的［3］，但是在开发设计驱动电源的实践中，发现电机的机械谐振点与低频振荡点相差较远；同时发现，如果合理调整驱动电源中电感值的大小，能有效地消除(或削弱)系统的低频振荡，使电机能顺利地从低速升到高速［4］。
　　与普通的RLC电路不同，步进电动机驱动电源的主电路中存在开关管和续流二极管，根据绕组的具体通电情况，从电路拓扑结构的周期性变化规律中归纳出主回路的统一等效电路，这是本文研究驱动系统电磁谐振问题的思路。本文推导出了针对具体环分逻辑下系统的等效电路，讨论了系统的电磁谐振问题，并计算了电路的谐振频率，通过理论计算和实验验证，得出了驱动系统的电磁谐振是步进电动机升速过程中发生振荡的一个很重要的原因。本文的研究结论可以为步进电动机驱动系统的优化设计提供理论依据。
　　电磁谐振问题在交流伺服系统中的存在具有一定的普遍性，而关于这方面研究的文献报导较少，本文以混合式步进电动机驱动系统为例来详细讨论这个问题是有意义的。

2　驱动系统的统一等效电路

　　研究系统的电磁谐振问题，首先要推导出系统的等效电路。为了分析的方便，本文以一台三相混合式步进电动机为例来研究电机的驱动系统。步进电动机本质上是一台同步电机，三相混合式步进电动机等效于一台隐极同步电机的等效电路如图1a［5］。其中La，Lb，Lc为各相绕组的自感；ra，rb，rc为各相绕组的电阻；Mab,Mbc,Mca为各相绕组间的互感；eoa,eob,eoc是旋转电动势，代表转子中永磁体在各相绕组中产生的磁链，因转子的转动在绕组中感应的电动势。　　

图1　三相混合式步进电机的等效电路
Fig.1　The equivalent electric circuit of the 3
phase hybrid step motor
　　为了推导驱动系统的统一等效电路，下面对图1a作进一步的分析。在图1a中，按电动机惯例规定各量的参考方向，可以列出三相绕组的电压方程

电机的三相电流满足关系
ia+ib+ic=0　(2)
同时，考虑到电机结构的对称性，可以认为电机各相绕组间的互感相等
Mab＝Mbc＝Mca＝M　(3)
这样式(1)可以化为

　　根据式(4)，可以将图1a中的相绕组互感折合到绕组的自感中进行计算，于是可以得到电机的等效电路如图1b所示，这种对相绕组互感的处理有利于下面推导驱动系统的等效电路。
　　图2为一台三相混合式步进电动机的升频升压驱动电源的主回路。与普通的RLC电路不同，这个电路中存在开关管和续流二极管，根据绕组的具体通电情况，从电路拓扑结构的周期性变化规律中可归纳出主回路的统一等效电路。　　

图2　三相混合式步进电机的升频升压驱动电路
Fig.2　The drive circuit of the 3 phase hybrid step motor in
rising frequency rising voltage mode
　　绕组的具体通电情况是由开关管的环分逻辑来决定的，这里不妨设电机采用双六拍的工作方式

　　一般情况下，电机绕组在一拍内不能完成续流过程，在图2中，逻辑状态对应的从P′N′看进去的等效电路分别如图3a、b、c所示，图中为了画图的方便，将绕组的阻抗Za、Zb、Zc来代替电阻与电抗之和，并且在分析中忽略了开关管和续流二极管的管压降。因为在图1b中，根据电机三组之间的对称性有　　
(6)

图3　具体工作状态下电机绕组中电流和反电势的关系
Fig.3　The relationship between the current and the EMF
in phase windings

因此要分析图3中三个图之间的内在关系，只要分析三个旋转电动势eoa、eob、eoc之间的关系就可以了。旋转电动势是由于转子中永磁体在各相绕组中产生的磁链因转子的转动而在绕组中感应的电动势，因此分析旋转电动势之间的相位关系可以从分析相应极下定、转子齿间的相对位置关系入手。
　　从相位关系来看，图3a与图3b的差别在于A、B、C三相的顺序向后推移了2π/3电角度，B相取代了A相，C相取代了B相，A相取代了C相，这就是说电机在按图3a的方式工作期间，A、B、C三相极下定转子齿的相对位置关系和电机按图3b的方式工作期间，B、C、A三相极下定转子齿的相对位置关系是相同的，这可以用三相旋转电动势之间的关系来描述
(7)
在ωt时刻电机三相绕组之间的关系可以用图3a来等效，在(ωt+2π/3)时刻电机三相绕组之间的关系可以用图3b来等效，既然图3a与图3b中阻抗Za、Zb、Zc是相等的，而旋转电动势又满足式(7)的关系，因此，在(ωt+2π/3)时刻电机三相绕组之间的关系仍可以用图3a来等效。
　　再看图3a和图3c，这两个电路中，前一个图是一相电流流入中点，两相电流流出中点，后一个图是两相电流流入中点，一相电流流出中点，两个电路中电流的方向正好相反。在混合式步进电动机中，左右两端转子的齿错开180°电角度，如果A相绕组中电流达到正的最大值时，A相所属极下左端转子齿与定子齿对齐(因这时左端为增磁方)，那么当A相绕组电流达到负的最大值时，A相所属的极下右端转子齿会与定子齿对齐(因这时右端为增磁方)。这就是说，某相所属的极下左端定转子齿的错位情况与该相绕组中相电流方向相反时，右端定转子齿的错位情况是相同的。也可以这样理解，图3a和图3c分别对应于相隔1/2个周期的两种逻辑状态，绕组中的电流方向相反，同时绕组中旋转电势的大小相等方向相反，因此在(ωt+π)时刻电机三相绕组之间的连接关系仍可以用图3a来等效。
　　综合上面的分析，可以将图3的三个图统一画成图3a的形式，更进一步，前面所述的六种逻辑状态都可以统一成图3a的形式，只是在分析时要注意旋转电动势的变化规律。这样我们根据绕组的具体通电逻辑，从电路拓扑结构的周期性变化规律中突破了开关元件的约束，归纳出主回路的统一等效电路如图4所示。　　

图4　三相混合式步进电机驱动系统的统一等效电路
Fig.4　The common equivalent electric circuit of the 3
phase hybrid step motor drive system
　　图4中，电机等效电路各参量的下标由a、b、c改成了1、2、3，因为这时这些参数不再针对具体的某一相，而是反映了绕组间的一种联系。电感和电阻满足如下关系　　
(8)
其中Lm、r由式(6)决定。
　　旋转电动势eo1，eo2，eo3在［0，T/6］(即一拍期间)按下式计算
(9)
在［T/6，2T/6］(即第二拍期间)，旋转电动势eo1、eo2、eo3重复前一拍的变化规律，如式(10)所示，以后的情况类推。

(10)
图5为θ＝0°所对应的eo1的波形示意图。　　

图5　eo1的波形示意图
Fig.5　The diagram of eo1
3　谐振频率的计算

　　对于图4的驱动系统的统一等效电路，这是一个多阶的RLC电路，分析电路的电磁谐振现象可以先列出它的状态方程
(11)
式中　vC——电容C的端电压
　　　vi——电感端的输入电压
　　　iL——电感中的电流
i1，i2，i3——支路电流
　　从式(9)可以得出旋转电动势之间满足关系
eo1+eo2+eo3＝0　(12)
　　综合式(11)、(12)，同时考虑到电感、电阻之间满足的关系式(6)，消去iL，i1将得到一个三阶的微分方程。因电机绕组的电阻相对于绕组电抗要小很多，在计算系统的共振频率时为了分析上的方便，先忽略绕组电阻，这样将得到一个二阶的微分方程
(13)

事实上，忽略绕组电阻相当于在分析弹簧质量系统的振动问题时忽略阻尼的影响，而文献［6］的分析表明，弱阻尼情况下强迫振动的共振频率和无阻尼振动时的共振频率相差并不大。因此，这里在电机绕组的电阻相对于绕组电抗要小很多的情况下忽略绕组的电阻来研究电路的共振频率是可行的。
　　从式(13)可以求出图4驱动系统统一等效电路的角频率为　　
(14)
　　从式(13)可见，引起电路发生电谐振的强迫振动源有两个，一个是电感端的输入电压vi，其值的大小可以根据PWM开关管的开通和关断情况来确定，vi的波形示意图如图6；另一个强迫振动源则是电机绕组中的旋转电动势eo1，旋转电动势的波形示意图如图5。值得注意的是，统一等效电路图4中的“旋转电动势eo1、eo2、eo3”与图1中的“旋转电动势eoa、eob、eoc”的意义是不同的，eo1、eo2、eo3的交变频率是eoa、eob、eoc的6倍。　

图6　vi的波形示意图
Fig.6　The diagram of vi
　　对vi和eo1进行谐波分析，可以得到恒定分量、基波分量和高次谐波分量，如果其中某一分量(尤其是基波分量)的角频率恰好等于或接近电路的共振频率，且这一分量的幅值足够大，则可能引起电路的谐振。　　
4　实验研究

　　针对一套具体的130BYG3100型三相混合式步进电动机驱动系统，系统中与固有频率计算式有关的几个参数为　　
(15)
这样按式(14)计算出系统的固有频率为ω0＝2167rad/s。
　　在实验中发现，驱动系统在升频过程中在360Hz附近有一个明显的振荡区，这时用数字存储示波器拍到相电流的波形如图7所示。当外加脉冲频率为360Hz时，统一等效电路中旋转电动势eo1的基波频率ω′0按下式进行计算
　　(16)

图7　系统发生弱振荡时的相电流实拍波形
Fig.7　The measured phase current approaching system
weak oscillation
式中　f——外加脉冲频率，Hz
　　　n——电机运行的拍数
旋转电动势eo1中基波频率ω′0恰好和系统的角频率ω0很接近，可以推断系统在360Hz附近的振荡是由于旋转电动势eo1中基波的激励而引起的电磁谐振。
　　为了进一步验证上面的结论，我们调整驱动器中电感L的匝数，使L改变为0.4mH，这时系统在360Hz附近的振荡区果然消失，电机可以顺利地升速，这时按式(14)计算系统的角频率为ω0＝1557rad/s。
　　从理论上讲，电机在升速过程中总有一个外加脉冲频率会使旋转电动势eo1中基波频率ω′0和系统的角频率ω0很接近，但当ω0降低时，满足谐振条件的外加脉冲频率也降低，旋转电动势eo1中基波的幅值与外加脉冲频率成正比例地减小，这样谐振源的能量减小，机电系统产生振荡的强度被大大削弱。这就是上面调整驱动器中电感L的匝数降低系统的角频率ω0可以使系统顺利实现升速的原因。在驱动器的实际制作过程中，我们一般先固定电容C的大小，而电感的大小则试着选定，以保证流过开关管的电流不太大，且电机能顺利地升频运行。

5　结论
　　本文在研究步进电动机驱动系统的主电路时，根据绕组的具体通电情况，从电路拓扑结构的周期性变化规律中归纳出了主回路的统一等效电路，在此基础上研究了系统的电磁谐振问题，计算了电路的谐振频率，通过理论计算和实验验证，指出驱动系统的电磁谐振是步进电动机升速过程中发生振荡的一个很重要的原因。本文的研究可以为步进电动机驱动系统(驱动电源+电机)的优化设计提供理论依据。

　　课题组在以无刷直流电机系统作为电动汽车驱动装置的研究中，同样发现驱动系统存在电磁谐振问题，可以说电磁谐振问题在交流伺服系统中的存在具有一定的普遍性。因此本文的研究在交流伺服系统的运行分析中具有指导意义。

广东省自然科学基金资助项目。
童　怀　1994年获哈尔滨工业大学博士学位，华中理工大学博士后，现于广东工业大学任教，副教授。
任　雷　1997年获哈工大博士学位，现为清华大学博士后。
Tong Huai　received the Ph.D.degree from Harbin Institute of Technology in 1994, he has worked as a Postdoctoral Research Fellow at Huazhong University of Science and Technology, and now is a vice professor of Guangdong University of Technology.
作者单位：童　怀(广东工业大学电信系　510643)
　　　　　任　雷(清华大学　100084)
　　　　　郑大鹏(哈尔滨工业大学　150001)
参考文献
　1　叶治政，叶靖国.开关稳压电源.北京：高等教育出版社，1988.
　2　张占松.高频开关电源.广州：广东科技出版社，1990.
　3　哈尔滨工业大学，成都电机厂.步进电动机.北京：科学出版社，1979.
　4　王宗培，孙礼明.混合式步进电机的新型驱动电路.微电机，1997(2)
　5　王宗培，童怀.混合式步进电机稳态运行的同步仿真分析.电工技术学报，1994，9(1)
　6　叶彦谦.常微分方程讲义.北京：人民教育出版社，1979.
1999-01-08收到稿件。