数学应用与建摸教学大纲.doc

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《数学应用与建摸》教学大纲
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说 明

本大纲是根据国家教委颁布的理科数学与力学类专业《基本培养规格和教学基本要求》,参照《中学教师进修高等师范数学专业本科教学计划》并结合教育学院的实际情况制定的。本大纲适用专业为“数学与应用数学”脱产及函授本科。
数学建模是一种具有创新性的科学方法，它将现实问题简化，抽象为一个数学问题，或数学模型，然后用恰当的数学方法求解，进而对现实问题、进行定时量分析和研究，最终达到解决问题的目的。在当今科学数学化进程中，数学建模为组织和构造新提供方法，有力推动了各门科学的发展和完善，随着计算机应用的发展，数学模型又成为高新科技的一种“数学技术”，时代的进步反过来又使数学建模的内涵愈来愈丰富深刻，现已发展成为一门独立的社科学。实践证明：在大学开设数学建模课程对于培养学生的洞察力，想象力，逻辑思维以及分析问题、解决问题的能力是一条行之有效的途径，国家教委给予了高度重视，也深受广大学生的欢迎，目前：“数学建模”已是国内外许多院校的数学、应用数学、计算数学类专业的必修或限定选修课课程。“数学建模”近几年来已入教育学院数学限定选修课程。学习本课程大部分内容只需要微积分、线性代数、常微分方程、概率论等基本数学知识。
本课程系统地介绍、数学模型、数学建模、和建模的一般方法、步骤使学生了解数学 模型的性质及建模的基本方法、并初步具备对实际问题建模的能力、以及培养良好的思维习惯和归纳分析能力，本课程是沟通实际问题与数学工具必不可少的是桥梁，通过对物理问题、几何问题、决策问题、人口增长问题、线性规划问题、存贮问题、随机服务问题，排队论等问题、化决策问题等多类多种实际问题；建模实例的介绍、讨论、练习、使学生在应用数学知识解决实际问题的能力有所提高大力培养应用型人才，本课程的教学充分体显基础与能力相合、理论与实践相合、当前与未来相合的教学目的与任务。通过本课程的教学使学员更进一步的适应为当前从应试教育向素教育的转变，大力培养面向21世纪的人才，便于今后更好地从事中等学校的数学教育 。
本课程以课堂讲授为主、辅以学生练习、课堂讨论。循序渐进的介入数学建模思想、由简入难的介绍各类数学模型强化数学基础与实际问题的结合，强化数学工具与计算机 等其他工具的合又成为于一些重要教学环节，在突出教学方法的同时重点讲述数学方法与实际的必然关联性，以及用不同数学方法解决同一问题的优劣性。从而达到对数学方法之间的区别与联系的认识上升到对实际问题的处理上的不同表现的特征 。使学生更能具体的认识数学。学生自己动手“实践”是本课程必不可少的教学环节，每讲之后均应布置2－3个习由学生练习。(3)本课程的成绩，评定期中建模解模作业为主并参考来时的练习情况。考核应策重学生，灵活运用数学知识，分析归纳实际问题本质物质性的能力，避免生搬硬套或简单模仿。
本课程建议采用姜启源编《数学模型》作为教材。（高等教育出版社）本书第一版在1992年国家教育委员会举办的第二届全国优秀教材评选中获“全国优秀奖”。
某些模型的建模，求解用常微分方程的稳定，差分方程，马氏链等数学方法，应给予学生简单有目的的介绍。
数学建模课程作为定选修课共安排54学时（每周3课时按18周计）（若总学时为38学时“＊”号部分可删去）。
数学模型教材的使用与其他数学课程不同，不需要按照课本顺序讲授，教材上的丰富实例老师可根据专业方向，学生程度、教学时数、灵活安排，另一方面建模能力的培养需要阅读，思考大量别人作出的模型，因此教材中的一些章节可作学生的课外阅读村料。
教学时数安排如下：
教学时数分配表

章　节
教学内容
教学时数
、二年制脱产讲授
三年制函授
面授
自学
第一讲
数学建模概述
3

1
1
第二讲
综合类数学模型
10
2
4
6
第三讲
微分方线建模
8
2
3
6
第四讲
线性规划数学模型
10
2
4
6
第五讲
存贮策略数学模型
8
2
2
6
第六讲
随机服务系统数学模型
6
1
2
4

第一讲 数学建模概论
本讲作为课程导言和数学型的概述。主要介绍建立数学模型的含义、方法和步骤。给学生以建立数学模型全面的、初步的了解。
【教学目的和要求】
（1） 了解数学模型是以现实世界为目的，（2） 依据其相关因素内在规律面构造的抽象化、简化的数学式。
（3） 理解数学模型是数学学科联结其他非数学学科的含义和作用。
（4） 掌握建模的基本步骤和方法，（5） 了解建立数学模型的全过程。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【教学要点】
具体内容要点为：
(1) 何为模型与数学模型，数学模型的分类。
(2) 建立数学模型的含义、目的、作用。
(3) 示例说明用数学语言和数学方法如何表述和解决问题，即建立数学模型的一般过程及术解方法。
(4) 介绍建立数学模型的步骤、程序及思维方法。
(5) 讨论数学模型的特点及如何提高建立数学模型能力。
【重点】
何为数学模型　，数学建模的基本步骤及其思想方法。
【难点】
建模假设的三大原则－目的性；简明性；真实性的理解和实际应用。

第二讲 综合类数学模型
本讲渐序渐进地介绍建模思想，由简入难地介绍几种不同类型问题的建模方法，解模过程。以使学生初步了解解模思想和解模方法。
【教学目的和要求】
（1）了解当研究对象机较为简单时，一般用：静态的、线性的、确定性的或随机机性的描述就能达到建模目的。适用性强，应用广泛。
　（2）理解建模的关健是：对实际问题的合假设及用适当的数学语言表述实际问题。
（3）掌握术解数学模型的一些常用方法：初等方法，微分法，图解法。
(4)理解实践－认识－实践，是数学建模的基本认识论和方法论。
【教学要点】
(1)正方体模型 ---一种最得意简单的几何模型 。明确建模目的，确定可控变量；
建立数学关系式，多种解模方法：初等方法和微分法。
(2)椅子能否在不太平的地面上放稳----一种静态问题的建模。模型假设，模型求解，模型译型两种数据类型。
(3)商人怎样安全渡河---一种多步决策问题的数学模型。状态变量；可能状态集合；决策向量；决策集合转移律。图解法解模。
(4)自动售票机前的队伍――一种随机问题的数学模型，轨线；镜面的多种推广。

第三讲 微分方程建模
本讲介绍动态系统――当对象一些主要因素随时间（或空间）而演变的微分方程建模。首先介绍物理领域的微分方程建模，然后介绍几个非物理领域的微分方程模型。
【教学目的和要求】
(1)理解常微分方程在处理动态问题中的作用及一般方法、步骤。
(2)了解微分方程应用问题与一般微分方程支态数学模型的区别。
(4)了解如何用微分方程动态数学模型分析等物的变化规律，预测未来性态及时某些参数的修改、变更。使之更趋合理性。
(5)了解微分方程稳定性概念以及如何求微分方程的平行点。
(6)会求微分方程数学模型的优化问题　。和最优控制模型。
【教学要点】
（1） 容器中的水何时流完，（2） 问题与假设；建模与求解、译注与推广。
（3） 马尔萨斯（Malthus）人口增长模型。建模假设、建模与求解、译注。
（4） 阻滞人口增长模型。建模假设的修正，（5） 模型　的分析，（6） 评估与析验。
X(t)dx(t)dt图形分析。
（4）传染病模型，问题的提出与问题分析。模型假设，构模与求解。
（7） 捕鱼业的持续稳产高效益是变化规律数学描述，（8） 抽述方程的稳定性、产量模型经济效益模型，（9） 捕捞过度分析。
【重点】
如何对动问题分析变化规律、进行　比缎带出假设条件。然后按照问题，各因素的内在规律列出微分方程模型　。求方程上的解并对实际对象进行描述、分析、预测。
【难点】
微分方程的稳定性问题、优化问题。

第四讲 线性规划数学模型
规划模型是一类有着广泛应用的确定的系统优化模型，模型规范、建模直接、激发想象；模型求解方法典型　、实用面广。掌握这类问题的数学建模、是建模者必须具备的其本建模素养。
【教学目的和要求】
(1)理解线性规划模型的一般形式与模型三要素。
(4)会依据实际问题引入决策变量，写出约束方程以及目标函数。
(5)理解两个变量线性规划问题的图解法。
(7)会将一般规划问题数学模型化为标准型。
(12)了解单形方法的有关概念：基，基变量与非基变量，可行解，基本可行解，　　　最优初始单纯形表。
(15)熟悉求解线性数学模型的单纯形方法，最优判别定理，换基迭代。并会用单纯形方法求解线性规划数学模型　。
(18)了解求解线性数学模型的一些其他方法：图上作业，卡玛克方法，哈奇安方法。
【教学要点】
(5)线性数学模型的一般形式，决策变量，约束条件，目标函数。
(10)运输问题（康一希问题）数学模型，平行运输问题；供不应求，供过于求运输问题。
(11)生产组织安排问题的优化数学模型。
(12)合理配方以及合理下料问题的线性规划数学模型　。
(13)两个变量的线性规划数学模型的图解法。
(17)一些基本概念：可行域，极点，基本右行解，基本最优解、基变量与非基变量。
(22)单纯形方法，线性规划模型的标准型单纯形表，最优判别定理,初始基本可行解的确定，换基迭代。
【重点】
线性模型的图法；化线性模型标准型；求解线性模型的单纯形方法。
【难点】
建立模型时决策变量的确定；单纯形方法有关概念、结论。最判别定理，换基迭代。

第五讲 存贮策略数学模型
【教学目的和要求】
存贮策略是：依据实际情况确定库存多少时间补充一次，补充量是多少，才能使总费用最少。应用广泛。由于具体条件千差万别，因而模型也有多种类型，本讲介绍几种常用类型有确定型与随机型　。
【教学要点】
(9)不允许缺货，补货时间不计的模型　。需求，订货费，存贮费等基本概念。模型假设，模型构建，初等方法与经典微分法解模，模型结果的合理解释与应用。
(10)允许缺货的存贮模型。
(16)不允许缺货，进货需一定时的存贮型随机存贮模型――扳童订货型　，需求的数学期望，求解的差分法，对偶问题　。
(18)其它存贮模型，线性存贮模型。
【重点】
对实际问题的分析，模型的合理假设，模型的建立与求解。几种不同存贮模型的区别与联系。模型求解的差分法。随机存贮模型的一般建模方法。线性存贮模型　的构建。
【难点】
模型求解的差分法，随机存贮模型的合理假设与建模。

第六讲 随机服务系统数学模型

随机服务现象在日常生活及生产、技术领域中经常遇到。研究随机服务模型主要数学工具是排队论，本讲不专门介绍排队论的知识，只是从建模的角度讨论几个随机服务过程的描述和优化问题。
【教和要求学目的】
(1)掌握随机服务系统的基本概念，顾客到达规律的概率分布，服务时间的概率概率分布与及排队规律的数学描述。
(2)理解描述系统状态的差分方程及推导及过程。
(3)理解服务强度概念，会求服务强度。
(4)会用排队系统数学模型处理服务系统化题，了解边际分析法在随机系统中的作用。
(5)了解计算机序贯处理的基本原理。
【内容要点】
(9)有关随机服务系统的一些基本概念，顾客到达规律；服务时间概率分布，排队规律平均队长与平均服务时间，服务强度，系统状态及有关系状态的差分方程。
(17)单服务台、单队列的排队服务系统模型与及双服务台，单队列的排队服务系统，即M/M/1与M/M/2随机服务系统模型 。
(21)理发店的营运方略---排队服务系统的效率指标及优化模型及优化分析。
(24)机器维修服务 ---顾客源有限情况下的随机服务模型及化分析。
(27)计算机的序贯处理，序贯处理的计算时间，序贯处理与单机处理的比较。
【重点】
随机服务系统的一些基本概念与服务系统的数学特征。系统状态差分方程及推导，服务强度，服务系统优化问题的计算。
【难点】
系统状态模型的推导与求解。

参考书目

(1)《数学建模方法》 杨学桢等 河北大学出版社.2000.10
(2)《数学建模竞赛教程》 李尚志等 江苏教同版社.1996.6
(3)《大学生数学建竞赛辅导教材》(一、二、三、四) 叶其孝..
(4)《数学建模横导论》 陈理荣 北京邮电大学出版社 2000.9

(撰稿人:程学理)
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