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[初中数学论文]
探索几何中平移旋转之奥妙

内容摘要：在数学学习中培养探索能力，提高创新能力。
关键词：平移 旋转 探究
大千世界五彩缤纷，奥妙无穷，数学来自于生活，来自于大自然，与它们紧紧连在一起，所以说要探索大自然，可以从探索数学开始，培养我们的观察、操作、猜想、推理、归纳等能力。下面以几何中的平移、旋转为例来寻找数学的奥妙。
例１、如图1，△ABC的周长为2006cm，一只小猫位于ＡＢ上的中点Ｐ。小猫首先从点P沿平行于BC的方向跑到AC边上的一点P1，再由点P1沿平行于AB的方向跑到BC边上一点P2，再由点P2沿平行于AC的方向
跑到AB边上一点P3，问点P3与点P是否是同一点?若是小猫跑
了多少路程?
分析：本例我们应用三角形的中位线性质和它的逆定理很
容易找到答案。即点P3与点P同一点，且PP1+P1P2+P2P=
1/2（BC+AB+AC）=1003cm
探索：若起初小猫在AB边上的任意一点位置上（不是中
点），那么点P3点P是否同一点？若不是，能否让小猫继续由P3沿平行于BC的方向跑到AC边上一点P4。……
此后可按上述规律一直跑下去，问小猫能否返回点P?如果能，那么小猫至少要跑多少路程?
分析：（如图2）本题先通过画图，再观察发现P3
与P不重合。若再继续画图，易猜想点P6能与点P重合，
并运用已知中的众多平行线不难想到用平行四边形的性
质和全等三角形的知识去证明我们的猜想。
证明：点P不为AB的中点，则由小猫跑的规律可知，P1P2//AB，P2P3//CA，P3P4//BC，P4P5//AB，P5P6//CA，P6P7//BC。
∴△P3P2B可由△AP1P通过平移得到，△P4CP5可由△P3P2B通过平移得到，
△AP7P6可由△P4CP5通过平移得到。
∴△AP1P≌△P3P2B≌△P4CP5≌△AP7P6
故AP=AP6，AP1=AP7
即P6与P重合，P7与P1重合。
∴小猫最多经过6次转向，就回到了点P，此时小猫跑的路程为
PP1+P1P2+P2P3+P3P4+P4P5+P5P=BP2+AP3+AP1+CP2+BP3+CP1
=AB+BC+CA
=2006cm
例2．如图（3）点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、CM交于点E，直线CN、BM交于点F，连结EF。
（1） AN与BM是否相等？
（2） 判断△CEF是什么特殊三角形？
分析：本题是几何中的一个常见的范例，通过△ACN≌△MCB易得AN=BN.从而又可以证得△NCE≌△BCF。得CE=CF，即△CEF是等腰三角形。又∠ECF=180。-∠ACM-∠BCN=60。，故△CEF为等边三角形。
探索：如图4，将△CAN绕点C按逆时针方向旋转90。，其他条件不变。判断上面(1)(2)的结论是否仍然成立。
分析：1、本题通过画图，然后与原图形进行对比，容易得△CAN与△BCM仍然全等，故得AN=BM成立。
2、在BM上截取BE’=NE
易得△BCE’ ≌△NCE，∴CE= CE’
且∠BCE’＝∠NCE，又∠MCF=∠NCE（对顶角相等），从而得∠BCE’＝∠MCF。
若CF= CE’，得∠CEF’=∠CE’F。
而∠CFE’＝∠CMF＋∠MCF，∠CE’F＝∠BCE’＋∠CBE’，得∠CMF＝∠CBE’。
故得CM=CB。
从而知道，当等边△ACM与等边△CBN边长相等时，△CEF为等腰三角形，反之△CEF不是等腰三角形。
（另：本题如果△ACM绕点C旋转其他角度，是否有类似的
结论，请读者尝试。）
例3、如图5，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O
是正方形A’B’C’D’的一个顶点。如果两个正方形的边长相等，
那么正方形A’B’C’D’绕O点无论怎么转动，两个正方形重叠
部分的面积是否改变？
分析：因为正方形A’B’C’D’的位置是绕点O旋转而成的，
所以我们先将正方形A’B’C’D’旋转到特殊的位置。
（如图6）即A’B’//AB时，不难得到重叠部分的面积为正方形
ABCD的1/4。再由图5与图6进行比较，猜想可得重叠部分
的面积可能也为正方形ABCD的1/4。不难想到作辅助线
OG⊥AB，OH⊥BC，垂足为G、H。（如图5）
易得△OGE≌△OHF。故可得重叠部分的面积也为正方形ABCD的1/4。
尝试：如图7，O是边长为a的正方形ABCD的中心，
将一块半径是够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在
O上，并将纸板绕O点旋转。试说明：正方形ABCD的边
被纸板覆盖部分的总长度为定值。（由读者自己完成）
亲爱的读者，通过上面的例题的探究，我们能得到些什么启发呢？数学作为一种普通使用的技术。即是思维科学，也是实验科学，所以我们在发现探究的过程中完成对平移、旋转这一图形变化从直观到抽象，从感性认识到理论认识的转变，发展我们的直观想象能力和创新能力。这样能开阔思路，提高思维能力。从学习数学的角度中真正实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

参考文献：（1）《八年级上数学教学案例》（西泠印社出版社）
（2）《中国华罗庚学校数学课本练习与验收》（吉林教育出版社）
（3）《八年级数学素质目标检测》（西藏人民出版社）