山东省郓城一中2013届高三上学期12月月考数学理.doc

忻州市2013届高三上学期第一次联考
数学理试题
注意事项:
1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将学校名称、姓名、班级、联考证号填写在试题和答题卡上。
2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，，则
A． B． C． D．
2．复数在复平面内对应点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．等差数列中，a3+a11=8, 数列是等比数列，且b7=a7，则b6b8的值为
A．2 B．4 C．8 D．16
4．下列命题正确的是
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．
B．若一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行．
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面垂直．
5．设展开后为1+++……+，+=
A．20 B．200 C．55 D．180
6．设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足，则·取得最小值时，点B的个数是
A．1 B．2 C．3 D．无数个
7．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
A．38－π B．38 C．38+π D．38－2π
9．已知函数，则函数y=f(x)-log3x在（-1，3］上的零点的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
10．设双曲线的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2-bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）
A．在圆x2+y2=8外 B．在圆x2+y2=8上
C．在圆x2+y2=8内 D．不在圆x2+y2=8内
11．已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，
A． B. C． D．
12．给出下列四个命题：
（1）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且，则;
（2）设是两个非零向量且，则存在实数λ，使得；
（3）方程在实数范围内的解有且仅有一个；
（4）；
其中正确的个数有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸的相应位置.
13．= ．

14．某校高三年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班且每班安排2名，则不同的安排方案种数 ．（用数字作答）

15．按右图所示的程序框图运算，则输出S的值是 ．

16．定义在R上的函数是减函数，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若实数满足不等式+，则的取值范围是___________．

三．解答题：本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.
17．（本题满分12分）
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、．
（1） 求数列的通项公式； （2）数列的前n项和为．

18．（本题满分12分）
如图所示，在矩形中，的中点，F为BC的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且．
（1）求证：
（2）求二面角E-AP-B的余弦值．

19．（本题满分12分）
为迎接建党90周年，某班开展了一次“党史知 识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：
（1）求的值；
（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列以及X的数学期望．

20．（本题满分12分）
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合，直线过点F交抛物线于A、B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线交y轴于点M，且，m、n是实数，对于直线，m+n是否为定值？若是，求出m+n的值，否则，说明理由．

21．(本小题满分12分)
设∈R，函数 =（），其中e是自然对数的底数．
（1）判断f (x)在R上的单调性；
（2）当– 1 << 0时，求f (x)在[1，2]上的最小值．
选做题：请考生从给出的3道题中任选一题做答，并在答题卡上把所选题目的题号用2B铅笔涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知C、F是以AB为直径的半圆上的两点，且CF＝CB，过C作CD^AF交AF的延长线与点D．
（1）证明：CD为圆O的切线；
（2）若AD＝3，AB＝4，求AC的长．

23．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知两点O(0，0)，B(2，)．
(1)求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成
直角方程；
（2）以极点O为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立
平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于M，N两点，圆C的圆心为C，求DMNC的面积．

24． （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f (x)＝| x－a | + | x + 2 |(a为常数，且a∈R)．
（1）若函数f (x)的最小值为2，求a的值；
（2）当a＝2时，解不等式f (x)≤6．
忻州市2012－2013学年高三第一次联考
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
D
C
B
B
C
B
C
C
A
A
二、填空题
13. 2; 14. 90; 15. ; 16. (-,1]∪[2，），
三、解答题

得或（舍），于是………………6分
(2)因为数列是首项,公比2的等比数列, ……………9分
前n项和 …………………..12分
18.解析：（1） ………………2分
BC的中点为F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC
因为PB=PC ∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF ……………3分
从而BC⊥PO ……………………4分
又BC与AE相交，可得PO⊥面ABCE ………5分
（2）作OG∥BC交AB于G，∴OG⊥OF如图，建立直角坐标系
A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），P（0，0，）
………………6分。
设平面PAB的法向量为 …8分
同理平面PAE的法向量为 ……9分
……11分
二面角E-AP-B的余弦值为 ……………… 12分
19.(Ⅰ) …………………4分
(Ⅱ)X的可能取值为2，3，4， ………5分

……………………8分
所以分布列为
X
2
3
4
P
0.04
0.064
0.896
………………10分
………………12分
20.解：（Ⅰ）∵椭圆的右焦点
由 ………5分
∴∴……………7分
又由
即m=,同理， ………………………9分
∴ ………11分

所以，对任意的直线l，m+ n为定值-1 ………12分
21．解：（1）=．…2 分
因为，以下讨论函数g (x) = –a+ 2ax – a – 1值的情况．
当a = 0时，g (x) = –1 < 0，即，所以f (x)在R上是减函数． ………3分
当a > 0时，g (x) = 0的判别式Δ= 4– 4(+a) = –4a < 0，
所以g(x)<0，即，所以f(x)在R上是减函数． ………5分
当a < 0时，g (x) = 0有两个根，，并且<，
所以，在区间（）上，g (x) > 0，即，f (x)在此区间上 是增函数．在区间（,）上，g (x) < 0，即，f (x)在此区间上是减函数．在区间（）上，g (x) > 0，即，f (x)在此区间上是增函数． ……………………….7分
综上，当a≥0时，f (x)在R上是减函数；
当a < 0时，f (x)在（）上单调递增，在（,）上单调递减，在（）上单调递增．………………….8分
（2）当 – 1 < a < 0时，，， ……10分
所以，在区间[1，2]上，函数f (x)单调递减， …………………11分
所以，函数f (x)在区间 [1，2]上的最小值为f (2) =． ………………12分
22．（Ⅰ）证明：∵，．
∵，，
则，∥．
∵，．则为圆的切线．
……5分
（Ⅱ）解：连接，由（Ⅰ）知．
又，∽.
．则，所以． ……10分
23．解： (Ⅰ)设P(r,q)为圆上任意一点，则|OP|＝r，ÐPOx＝q－，
在RtDPOB中，cos(q－)＝，即r＝2cos(q－)．
∴r2＝2r cosq×+2r sinq×，
∴圆C的直角坐标方程为 (x－2)2＋(y－2)2=2． ……5分
（Ⅱ）作CD^MN于D，C到直线l的距离为d＝，
在RtDCDA中，|MN|＝2＝，
∴S＝××＝． ……10分
24．解：（Ⅰ）f (x)＝|x－a|＋|x＋2|＝| a－x |＋|x＋2|
≥|a－x＋x＋2|＝|a＋2|，
由|a＋2|＝2，解得a＝0或a＝－4． ……5分
（Ⅱ）f (x)= |x－2|+|x＋2|．
当x＜－2时，不等式为2－x－x－2≤6，其解为－3≤x＜－2；
当－2≤x＜2时，不等式为2－x＋x＋2≤6恒成立，其解为－2≤x＜2；
当x≥2时，不等式为x－2＋x＋2≤6，其解为2≤x≤3；
所以不等式f (x)≤6的解集为[－3，3]． ……10分
如有其它解法，相应给分．