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初中数学竞赛辅导资料（31）
勾股定理
甲内容提要
1. 勾股定理及逆定理：△ABC中　∠C＝Rt∠a2＋b2=c2
2. 勾股定理及逆定理的应用
① 作已知线段a的，， ……倍
② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题
③ 证明线段的平方关系等。
3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.
4. 勾股数的推算公式
① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,　m2+n2是一组勾股数。
② 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
③ 如果k是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。
④ 如果a,b,c是勾股数，那么na,　nb,　nc　(n是正整数)也是勾股数。
5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41。
乙例题
例1.已知线段a　　 a 　　　　a　　　2a　　 3a a　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求作线段a　　　　　　　　　　　　 a　　　　　　　 　
分析一：a＝＝ 2a 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二：a＝

∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图（略）
例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2
求对角线AC的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴CE＝2CD＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在Rt△ABE中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
设AB为x,则AE＝2x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根据勾股定理x2+52=(2x)2, x2=　　　　　　　　　　　　　
在Rt△ABC中，AC＝＝＝
例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A
求证：AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：作∠B的平分线交AC于D，　　　　　　　　　　　　
　则∠A＝∠ABD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠BDC＝2∠A＝∠C
∴AD＝BD＝BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作BM⊥AC于M，则CM＝DM　　　　　　　　　　　　　　　　　
AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）　　　　　　　　　　　　
　　　　＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）　　　　　　　　　
　　　　＝AC×AD＝AB×BC
例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD
　求证：AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
则c+n=b+m, c-b=m-n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AD⊥BC，根据勾股定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
AD2＝c2-m2=b2-n2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0
(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b
∴AB＝AC
例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC
求证：AC＞BD
证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F
ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
AH＝，FH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　
DE＝，BD＝
∴DE＞BD
即AC＞BD
例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　求：的值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2001年希望杯数学邀请赛，初二）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　a2+b2=EF2＝SEFGH＝ ;①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH　　∴　2ab=　　　②
① －②得　（a-b）2=　　　　∴＝

丙练习31
1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：
① 7，＿＿，＿＿　　②8，＿＿，＿＿　　③9，＿＿，＿＿
④10，＿＿，＿＿　　⑤11，＿＿，＿＿　　⑥12，＿＿，＿＿
2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：
① 252－242＝＿＿，　　　②52＋122＝＿＿，
③＝＿＿＿，④＝＿＿＿
3. △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿
4.　梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿
5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD
求证：AE＝AF
6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，
且BD＝BF，CD＝CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求证：AE＝AF　　　　　　　　

7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 　求证∠A＝2∠B
8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）
9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长
10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2
11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC
ME⊥MF
求证：EF2＝BE2＋CF2
12.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）

13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100,
记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____
(1990年全国初中数学联赛题)

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