湖北省咸宁市四校2013届高三12月月考文科数学试题.doc

湖北省咸宁市四校2013届高三12月考文科数学试题
考试时间: 2012年12月18日下午3﹕00——5﹕00 本卷三大题22小题 试卷满分150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，若∩，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.以上都不正确
2.设,已知命题；命题，则是成立的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
4.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积
为 （ ）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是（ ）
A.存在使
B.在其定义域内为增函数
C.既有最大、最小值，又是偶函数
D.最小正周期为
6.函数在处有极值, 则点为 （ ）
A. B. C.或 D.不存在
7.已知向量,则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.不存在
8.若方程有解，则的取值范 （ ）
A.或 B.
C. D.
9.已知集合…，记和中所有不同值的个数为,如当时，由，得.对于集合…，若实数…成等差数列，则等于 ( )
A. B. C. D.
10.如图在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是 （ ）

二、填空题：本大题共5小题，每小题7分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11.已知成等比数列，则 .
12.直线被圆所截得的弦长等于 .
13.不等式的解集是
14.在△ABC中，若，则
15.观察下列式子：,
…,根据以上式子可以猜想：…___ __
16.已知函数的定义域是[1,2]，则函数的定义域为
17.设P是函数的图像上任意一点，过点P分别向直线和轴作垂线，垂足分别为A、B,则的值是
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)设，求函数在的最大值，并确定此时的值．

19.某企业拟在年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量万件与年促销费用万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是万件．已知年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产万件产品需再投入万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的％与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
(1)将年的利润(万元)表示为促销费(万元)的函数；
(2)该企业年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？
(注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用)

20.如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，为棱上一点，且点为棱的中点.
(1)求证：面面；
(2)若二面角的平面角为，求的值.

21. 已知函数图像上一点处的切线方程为，其中为常数.
（Ⅰ）函数是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用表示）；
（Ⅱ）若不是函数的极值点，求证：函数的图像关于点对称.

22. 已知函数()的反函数为，数列满足：a1=1，，（N*），数列，，，…，是首项为1，公比
为的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．

高三年级数学（文科）参考答案
1.D
2.B
3.D
4.B
5.C
6.B解答：据题意知或,
但当时,函数在处不存在极值.故选B.
7.C解答：两向量垂直且模都为，∴
8.B解答：方程有解，
等价于求的值域
∵∴
则的取值范围为
9.A
10.B
11.4
12.2
13.
14.
15.
16.
解答：在函数中，定义域为[1，2]
即 ∴的定义域为[2，4]
则
∴的定义域
17.
解答：设，则点到直线和轴的距离分别为
，.
∵O、A、P、B四点共圆，所以.
∴=
18.解答：(1)由图象知则∴……（2分）
又
∴，∵，
∴
∴的解析式为. ………………（5分）
(2)由(1)可得
∴＝ …（8分）
∵∴，
∴当，即时， …………………（12分）
19.解答:(1)由题意:，将代入得
∴,
当年生产(万件)时，年生产成本,
当销售(万件)时，年销售收入％,
由题意，生产万件产品正好销完
∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费
即.………（6分）
(2)∵(万件)
当且仅当即时，,
∴当促销费定在万元时，利润最大. ………（12分）
20.解答：(1)取的中点点，取的中点，连.
由此知:∥，
又∵面面且相交于，易知，
∴面
∴直线⊥面
又在面内，且面∩面＝
∴面面；………6分
(2)延长与直线相交于，易知面,
过作于点，连知:,
由此知二面角的平面角； ………9分
设
在中，易知.
在中,，
在中，，
据题意有：,解得:，
所以. ………13分
21. 解：（Ⅰ），，
由题意，知，，
即 ………… 2分
……………3分
1 当时，2 ，3 函数在区间上单调增加，4
不存在单调减区间； ……………………5分
5 当时，6 ，7 有

+
-
+

∴当时，函数存在单调减区间，为 ……………6分
8 当时，9 ，10 有

+
-
+

∴当时，函数存在单调减区间，为 …………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：若不是函数的极值点，则，
…………………10分
设点是函数的图像上任意一点，则，
点关于点的对称点为，
∵
（或 ）
∴点在函数的图像上.
由点的任意性知函数的图像关于点对称. …………………14分
22. （Ⅰ）∵()，
∴()， ……………………………………（2分）
∴，
即（N*）． ……………………………（4分）
∴数列是以为首项，公差为2的等差数列．………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即
（N*）． ……………………………（8分）
，当时，，
∴…
…

因而，N*． ……………………………（10分）
，
∴…
……
令… ①
则…②
①-②，得
…
∴．又…．
∴． ……………………………（14分）

·11·