函数单调性与最值习题及答案.doc

　函数的单调性与最值
(时间：45分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．(2010·北京)给定函数①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)单调递减的函数的序号是 (　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．已知f(x)＝ 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为
(　　)
A．(1，＋∞) B．[4,8)
C．(4,8) D．(1,8)
3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
4．已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，则一定正确
的是 (　　)
A．f(4)>f(－6) B．f(－4)<f(－6)
C．f(－4)>f(－6) D．f(4)<f(－6)
5．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是 (　　)
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．函数f(x)＝的单调增区间为________．
7．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；
③>0；
④<0.
其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为_____________________________________．
8．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是
__________．
9．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m的取值范围是__________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比较f与f(a2－a＋1)的大小．
11.(14分)已知f(x)＝ (x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
12．(14分)已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式
f(1－x)＋f(1－x2)<0.
答案
1．B 2．B 3．B 4．C 5．D
6．[3，＋∞) 7．①③ 8. 9．(－1,0]
10．解　∵a2－a＋1＝2＋≥>0，
又∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f.
11．(1)证明　任设x1<x2<－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解　任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
∴a≤1.
综上所述知0<a≤1.
12．解　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴由f(1－x)＋f(1－x2)<0
得f(1－x)<－f(1－x2)．
∴f(1－x)<f(x2－1)．又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴解得0<x<1.
∴原不等式的解集为(0,1)．