北京市西城区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学理科.doc

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2011.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集，集合，，那么集合
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 已知点，点，向量，若，则实数的值为
（A）5
（B）6
（C）7
（D）8
3.已知中，，，则角等于
（A）
（B）
（C）
（D）
4．在极坐标系中，过点并且与极轴垂直的直线方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
开始
输出
结束
是
否
输入

5. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间
内，则输入的实数的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
6.设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是
（A）
（B）
（C）
（D）
A
B
C
D
B
C
D

7．如图，四边形中，，
，.将四边形沿
对角线折成四面体，使平面
平面，则下列结论正确的是

（A）
（B）
（C）与平面所成的角为
（D）四面体的体积为
8．对于函数①，②，③，
判断如下两个命题的真假：
命题甲：在区间上是增函数；
命题乙：在区间上恰有两个零点，且.
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是
（A）①
（B）②
（C）①③
（D）①②
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.为虚数单位，则______.
10.在的展开式中，的系数为_____.
B
A
C
T
P
11. 若实数满足条件则的最大值为_____.
12.如图所示，过圆外一点做一条直线与圆交于两点，，与圆 相切于点.已知圆的半径为，,则_____.
13．双曲线的渐近线方程为_____；
若双曲线的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且
，则直线的斜率为_____.
14.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则
坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____；
圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）若点在角的终边上，求的值；
（Ⅱ）若，求的值域.

16.（本小题满分13分）
A
B
C
C11
B1
A1
D
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

17.（本小题满分13分）
一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为.
（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取3次，求恰有次抽到号球的概率；
（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列.

18.（本小题满分13分）
已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.

19.（本小题满分14分）
已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

20.（本小题满分14分）
已知数列，满足，其中.
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且.
（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；
（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末
高三数学参考答案及评分标准
（理科） 2011.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
C
B
D
B
D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 10. 11.
12. 13. ， 14. ，
注：13、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）

15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为点在角的终边上，
所以，， ………………2分
所以 ………………4分
. ………………5分
（Ⅱ） ………………6分
， ………………8分
因为，所以， ………………10分
所以， ………………11分
所以的值域是. ………………13分

16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，
所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　………………1分
因为平面，所以，　　　　　　　　　 ………………2分
又因为，为中点，
所以. ……………3分
B1
A
B
C
C11
A1
D
x
y
z
O
因为,
所以平面. ……………4分
（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，
因为为正方形，所以为中点，
又为中点，所以为中位线，
所以， ………………6分
因为平面，平面，
所以平面. ………………8分
(Ⅲ)解： 因为侧面，均为正方形， ，
所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.
设，则.
， ………………9分
设平面的法向量为，则有
，， ，
取，得. ………………10分
又因为平面，所以平面的法向量为，………11分
， ………………12分
因为二面角是钝角，
所以，二面角的余弦值为. ………………13分
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为，则两次取球的编号的一切可能结果有种， ………………2分
其中和为的结果有，共种，
则所求概率为. ………………4分
（Ⅱ）每次从袋中随机抽取个球,抽到编号为的球的概率.
………………6分
所以，次抽取中，恰有次抽到6号球的概率为
. ………………8分
（Ⅲ）随机变量所有可能的取值为. ………………9分
，
，
，
. ………………12分
所以，随机变量的分布列为:

………………13分

18、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意得，得. ………………2分
结合，解得，. ………………3分
所以，椭圆的方程为. ………………4分
（Ⅱ）由 得.
设.
所以， ………………6分
依题意，，
易知，四边形为平行四边形，
所以， ………………7分
因为，，
所以. ………………8分
即 ， ………………9分
将其整理为 . ………………10分
因为，所以，. ………………11分
所以，即. ………………13分

19.（本小题满分14分）
解：. ………………2分
（Ⅰ），解得. ………………3分
（Ⅱ）. ………………5分
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是. ………………6分
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. …………7分
③当时，， 故的单调递增区间是. ………8分
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ………9分
（Ⅲ）由已知，在上有. ………………10分
由已知，，由（Ⅱ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，故. ……………11分
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，， ………………13分
综上所述，. ………………14分

20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，有
…………2分
. ………………3分
又因为也满足上式，所以数列的通项为.………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的有， ………………5分
所以
，
所以数列为等差数列. ………………7分
（ⅱ）设，（其中为常数且），所以

所以数列均为以7为公差的等差数列. ………………9分
设，
（其中，为中的一个常数），
当时，对任意的有； ………………10分
当时，

………………11分
①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；
②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；
………………12分
综上：设集合，
当时，数列中必有某数重复出现无数次.
当时， 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分

10