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第14讲 函数概念与表示
一、要点精讲
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，定义域含三种：①自然型：②限制型： ③实际型：
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：4．区间 5．映射的概念
6．常用的函数表示法：（1）解析法：；（2）列表法：；（3）图象法：。
7．分段函数
8．复合函数：若y=f(u)，u=g(x),xÎ(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。
【课前练习】
1.【08江西卷文3】若函数的定义域是，则函数的定义域是
A． B． C． D．
2.【08山东卷文5】设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.【08陕西卷理11】定义在上的函数满足（），，则等于（ ）A．2 B．3 C．6 D．9
4.【08安徽卷理13】函数的定义域为 ．
二、典例解析
题型1：函数概念
例1．（1）设函数
（2）请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （x）：
①图象关于y轴对称；②对定义域内任意不同两点, 都有
答： .

变式题：（2007山东 文2）设（ ）
A．0 　 B．1 C．2 D．3
例2．（2007安徽 文理15）函数对于任意实数满足条件，若则__ ________；
题型二：判断两个函数是否相同
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
题型三：函数定义域问题
例4．求下述函数的定义域：
（1）； （2）
例5．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) ；(2)。
变式题：已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞ B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a≤
题型四：函数值域问题
例6．求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）。
题型五：函数解析式
例7．（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求。
题型六：函数的综合题
例8. 已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)
(3)若且，则有.
(I)求的值；
(II)求的最大值；
三、课外作业
1.【08湖北卷4】函数的定义域为
A. B. C. 　　D.
2.【08四川卷11】设定义在上的函数满足，若，则( )
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）
3.【08江西卷3】若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A． B． C． D．
4.【07重庆】若函数的定义域为R，则实数的取值范围 。
5.（1）设，其中a、b、c、d是常数。
如果求；
（2）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。
【课前预习】
1. B 2. A 3. A 4．
四．典例解析
例1． 解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，

=
=
（2）答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如
等等.
首先由①知f （x）为偶函数，由②知f （x）在定义域内图象上凸，然后在基本初等函数中去寻找符合这两点的模型函数.
变式题解：选项为C。
例2．解：由得，
所以，则。
例3．解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，
它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。
例4．解：（1），解得函数定义域为.
（2） ，（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），
①当a=0时，函数定义域为；
②当时，得，
1）当时，函数定义域为，
2）当时，函数定义域为，
3）当时，函数定义域为；
③当时，得，
1）当时，函数定义域为，
2）当时，函数定义域为，
3）当时，函数定义域为。
例5． 解：（1）由0＜x＜2， 得

变式题：解：由a=0或可得－12＜a≤0，答案B。
例6解：（1）（配方法），∴的值域为。
改题：求函数，的值域。
解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，
∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。
∴函数，的值域为。
（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。
又∵，∴，故，∴的值域为。
（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，
∴原函数的值域为。
（法二）分离变量法：，∵，∴，
∴函数的值域为。
（4）换元法（代数换元法）：设，则，
∴原函数可化为，∴，∴原函数值域为。
注：总结型值域，
变形：或
（5）三角换元法：
∵，∴设，则
∵，∴，∴，∴，
∴原函数的值域为。
（6）数形结合法：，∴，∴函数值域为。
（7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为。
由得： ①
①当即时，①即，∴
②当即时，∵时方程恒有实根，
∴△，∴且，∴原函数的值域为。
（8），
∵，∴，∴，
当且仅当时，即时等号成立。∴，∴原函数的值域为。
（9）（法一）方程法：原函数可化为：，
∴（其中），∴，
∴，∴，∴，∴原函数的值域为。
例7． 解：（1）∵，∴（或）。
（2）令（），则，∴，。
（3）设，则，
∴，，∴。
（4） ①，把①中的换成，得 ②，
①②得，∴。
例8..解：（I）令，由(3),则
由对任意，总有
（II）任意且，则
，
【课外作业】
1～3DCB 4、[-1,0]
5、解：（1）构造函数则故：

（2）原不等式可化为
构造函数，其图象是一条线段。
根据题意，只须：

即
解得。
点评：上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题，体现了函数的工具作用。