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高三数学 (理科)习题（1）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
参考公式：
如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);
如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)·P(B).
如果事件A在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率:
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合,,则
A． B． C． D．
2. 已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的
A．充要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 命题，函数，则
A．是假命题；，
B．是假命题；，
C．是真命题；，
D．是真命题；，
4. 一个样本容量为的样本数据，它们组成一个公差不为的等差数列，若，且成等比数列，则此样本的中位数是
A． B． C． D．
5. 如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为
A． B． C． D．
6. 三棱柱的侧棱长和底面边长均为，且侧棱底面，其正视图是边长为的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为
A． B． C． D．
7. 设二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是
A．
B．
C．
D．
9. 以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的方程为
A． B．
C． D．
10. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面,则下列四个命题中错误的为：
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
11. 的外接圆的圆心为，半径为,若，且，则向量在向量方向上的投影为
A． B． C． D．
12. 的展开式中，的系数可以表示从个不同物体中选出个的方法总数.下列各式的展开式中的系数恰能表示从重量分别为克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为克的方法总数的选项是
A．
B．
C．
D．
网第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 曲线在点处的切线方程为___________;
开始
输出
结束
是
否
14. 阅读右侧的程序框图，输出的结果的值为___;
15. 若，则的最小值为________;
16.将石子摆成如图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成，则数列的第项________;
三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）的三个内角所对的边分别为，向量，，且.
(Ⅰ)求的大小；
(Ⅱ)现在给出下列三个条件：①；②；③，试从中再选择两个条件以确定，求出所确定的的面积.
(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分).
岁数
0
0
0
18．（本小题满分12分） 某区组织群众性登山健身活动,招募了名师生志愿者,将所有志愿者现按年龄情况分为等六个层次,其频率分布直方图如图所示: 已知之间的志愿者共人.
(Ⅰ)求和之间的志愿者人数;
(Ⅱ)已知和之间各有名英语教师，
现从这两个层次各选取人担任接待工作,设两组的选
择互不影响,求两组选出的人选中都至少有1名英语
教师的概率是多少?
(Ⅲ)组织者从之间的志愿者(其中共有名女教师，其余全为男教师)中随机选取名担任后勤保障工作,其中女教师的数量为,求的概率和分布列.
19．（本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，， 为的中点,面．
(Ⅰ)求的长；
(Ⅱ)求证：面面；
(Ⅲ)求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分） 在数列中，，其中．
(Ⅰ)求证：数列为等差数列；
(Ⅱ)求证：
21．（本小题满分12分）已知函数.
(Ⅰ)若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；
(Ⅱ)若，且，设,求函数在上的最大值和最小值.
22．（本小题满分14分）已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上.
(Ⅰ)求抛物线和椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点的直线交抛物线于、两不同点,交轴于点，已知为定值.
(Ⅲ)直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，，若点满足：，证明：点在椭圆上.
高三数学（理）练习题（一）
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．
BCDA CBDA CCAA
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13. ； 14. ； 15. ； 16．
三、解答题：本大题共6小题,共74分.
17. （本小题满分12分）
解：(I)因为，所以……………2分
即：，所以…………4分
因为，所以
所以……………………………………6分
(Ⅱ)方案一:选择①②，可确定，
因为
由余弦定理，得：
整理得：……………10分
所以……………………12分
方案二:选择①③，可确定，
因为
又
由正弦定理……………10分
所以……………12分
（注意;选择②③不能确定三角形）
18．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）设频率分布直方图中个层次的频率分别为
，所以, ……………2分
由题意
而
所以, 之间的志愿者人数…………4分
（Ⅱ）之间有人……………5分
设从之间取人担任接待工作,其中至少有1名英语教师的事件为;
从之间取人担任接待工作,其中至少有1名英语教师的事件为
因为两组的选择互不影响,为相互独立事件
……………7分
与为相互独立事件，同时发生可记做
所以，……………8分
(Ⅲ) 之间共有人，其中名女教师，2名男教师
从中选取三人，则女教师的数量为的取值可为
所以 ；；
所以，分布列为
………10分
所以，数学期望为……………12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）取的中点，连接
则为梯形的中位线，
又,所以
所以四点共面……………2分
因为面，且面面
所以
所以四边形为平行四边形，
所以……………4分
（Ⅱ）由题意可知平面面；
又且平面
所以面
因为 所以面
又面， 所以面面；……………6分
（Ⅲ）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系 ……7分
设为的中点，则
易证：平面
平面的法向量为……………8分
设平面的法向量为，
由得 所以……………10分
所以，……………11分
所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为． ……12分
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
∴数列为等差数列……………4分
（Ⅱ）因为 ，所以
原不等式即为证明，
即成立…………6分
用数学归纳法证明如下：
当时，成立,所以时，原不等式成立……………8分
假设当时，成立
当时，
所以当时，不等式成立……………11分
所以对，总有成立……………12分
21．（本小题满分12分）
(Ⅰ)解:由题设可得
因为函数在上是增函数，
所以,当时，不等式即恒成立
因为,当时，的最大值为，则实数的取值范围是-----4分
(Ⅱ) 解: ，
所以, …………6分
（1） 若,则，在上, 恒有，
所以在上单调递减
，…………7分
(2) 时
（i）若，在上,恒有
所以在上单调递减
…………9分
ii)时，因为，所以
，所以
所以在上单调递减
…………11分
综上所述：当时，，；当
且时，，.…………12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由焦点在圆上
得:
所以抛物线：………………2分
同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：
得椭圆：
总之，抛物线：、椭圆：………………4分
（Ⅱ）设直线的方程为，，则.………5分
联立方程组 消去得:，
， 故 …………………………7分
由，得，
整理得，，……………………………………………………9分
……………………10分
（Ⅲ）设则………11分
由得：
（1） ;（2）; （3）. …………12分
由（1）+（2）+（3）得：………………13分
所以满足椭圆的方程，命题得证.………………14分
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