江西师大附中、临川一中2013届高三12月联考理科数学试卷.doc

江西师大附中、临川一中2013届高三12月联考试卷
理科数学

注意事项
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写好自己的准考证号、姓名等相关信息。
2．选择题的答案选出后，把答案填在答题卡的相应位置，不能答在试题卷上。
3．答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图时可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

第Ⅰ卷
（本卷共10小题，每小题5分，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）
1．设全集为R，集合，，则( )
A． B． C． D．
2．如果（，表示虚数单位），那么( )
A．1 B． C．2 D．0
3．若，，，则( )
A． B． C． D．
4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( )
A． B． C． D．
5．在等差数列中，首项公差，若，则( )
A． B． C． D．
6．已知直线，平面，且，给出四个命题： ①若∥，则；②若，则∥；③若，则l∥m；④若l∥m，则．其中真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知偶函数 (的部分图像如图所示．若
△KLM为等腰直角三角形,且,则的值为( )
A. B. C. D.
8．已知、满足约束条件，若目标函数的最大值为7，则的最小值为( )
A．14 B．7 C．18 D．13
9．已知函数，若数列满足，且对任意的正整数都有成立，那么实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．已知函数，则关于的方程（）的根的个数不可能为（ ）
A．3 B． 4 C． 5 D． 6

第Ⅱ卷
（本卷共11小题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．圆被直线所截得的弦长为 ．
主视图
3
1
俯视图
2
2
左视图
3
2
12．已知四点，则向量在向量方向上的射影为 ．
13．某三棱锥的三视图如右(尺寸的长度单位为)．
则该三棱锥的体积为 ．
14．有这样一道题：“在ABC中，已知，
，,求
角A．”已知该题的答案是, 若横线
处的条件为三角形中某一边的长度,则此条件
应为 ．
15．已知函数，给出下列四个命题：
①函数是周期函数；
②函数既有最大值又有最小值；
③函数的图像有对称轴；
④对于任意，函数的导函数．
其中真命题的序号是 .（请写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）已知向量，函数．
(1) 求函数的最大值，并写出相应的取值集合；
(2) 若，且，求的值．

17．（本小题满分12分）已知函数（其中且为常数）的图像经过A、B两点.
(1)求的解析式；
(2)如果函数与的图像关于直线对称，解关于的不等式：
．

18．（本小题满分12分）已知命题p：函数在内有且仅有一个零点．命题q：在区间内恒成立．若命题“p或q”是假命题，求实数的取值范围．

19．（本小题满分12分）已知圆柱底面半径为1，高为，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示．将轴截面ABCD绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点P．
(1) 求曲线长度；
(2) 当时，求点到平面APB的距离；
(3) 是否存在，使得二面角的大小为？
若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分13分）已知函数，其中．
(1) 讨论函数的单调性，并求出的极值；
(2) 若对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围．

21．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列满足，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．
(3) 令，记数列的前n项和为，证明：．

江西师大附中、临川一中2013届高三联考
理科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）
1．设全集为R，集合，，则( C )
A． B． C． D．
2．如果（，表示虚数单位），那么( A )
A．1 B． C．2 D．0
3．若，，，则( A )
A． B． C． D．
4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( D )
A． B． C． D．
5．在等差数列中，首项公差，若，则( A )
A． B． C． D．
6．已知直线，平面，且，给出四个命题： ①若∥，则；②若，则∥；③若，则l∥m；④若l∥m，则．其中真命题的个数是( C )
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知偶函数 (的部分图像如图所示．若
△KLM为等腰直角三角形,且,则的值为( C )
A. B. C. D.
8．已知、满足约束条件，若目标函数的最大值为7，则的最小值为( B )
A．14 B．7 C．18 D．13
9．已知函数，若数列满足，且对任意的正整数都有成立，那么实数的取值范围是( C )
A． B． C． D．
10．已知函数，则关于的方程（）的根的个数不可能为（ A ）
A．3 B． 4 C． 5 D． 6

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．圆被直线所截得的弦长为．
12．已知四点，则向量在向量方向上的射影为．
13．某三棱锥的三视图如右(尺寸的长度单位为)．
主视图
3
1
俯视图
2
2
左视图
3
2
则该三棱锥的体积为 4 ．
14．有这样一道题：“在ABC中，已知，
，,求
角A．”已知该题的答案是, 若横线
处的条件为三角形中某一边的长度,则此条件
应为．

15．已知函数，给出下列四个命题：
①函数是周期函数；
②函数既有最大值又有最小值；
③函数的图像有对称轴；
④对于任意，函数的导函数．
其中真命题的序号是 ②③ .（请写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）已知向量，函数．
(1) 求函数的最大值，并写出相应的取值集合；
(2) 若，且，求的值．
解析：（1）
所以，当，即当时，。
（2）由（1）得：，所以，从而
。
由于，所以。
于是，。

17．（本小题满分12分）已知函数（其中且为常数）的图像经过A、B两点.
(1)求的解析式；
(2)如果函数与的图像关于直线对称，解关于的不等式：
．
解析：（1）。
（2）设是曲线上任意一点，由于函数与的图像关于直线对称，所以关于直线的对称点必在曲线上，所以，即，所以。于是

① 若，则不等式的解为；
② 若，则不等式的解为。

18．（本小题满分12分）已知命题p：函数在内有且仅有一个零点．命题q：在区间内恒成立．若命题“p或q”是假命题，求实数的取值范围．
解析：先考查命题p：
由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－或x＝
∵方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有且仅有一解，故或
∴－2<a≤－1或1≤a<2.
再考查命题q：
∵x∈，∴3(a+1)≤－在上恒成立．
易知max＝，故只需3(a+1) ≤－即可．解得a≤－.
∵命题“p或q”是假命题，∴命题p和命题q都是假命题，
∴a的取值范围为{a| －<a≤－2或－1<a<1或a≥2}．
19．（本小题满分12分）已知圆柱底面半径为1，高为，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示．将轴截面ABCD绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点P．
(1) 求曲线长度；
(2) 当时，求点到平面APB的距离；
(3) 是否存在，使得二面角的大小为？若存在，求出线段BP的长度；
若不存在，请说明理由．

解法一：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线就是对角线BD。由于，,所以这实际上是一个正方形.
所以曲线的长度为.
（2）当时，点恰好为AB的中点，所以P为中点，故点到平面APB的距离与点到平面APB的距离相等。
连结AP、BP，OP.
由且知：平面APB.
从而平面平面APB。
作于H，则平面APB。
所以，即为点到平面APB的距离。
在中，，
所以。于是：
。所以，点到平面APB的距离为。

（3）由于二面角为直二面角，故只要考查二面角是否为即可。
过作于Q，连结PQ。
由于，，所以平面，
所以。
于是即为二面角的平面角。
在中，。
若，则需，即。
令，则，
故在单调递减。所以，即
在上恒成立。故不存在，使。也就是说，不存在，使二面角为。
解法二：如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，过O与OB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系。则，。由于，所以，，于是，。

（1）同解法一；

（2）当时，，，所以是平面APB的一个法向量。
又，，所以点到平面APB的距离为。
（3）设是平面APB的一个法向量，则，
取。
又是平面DAB的一个法向量。
由得：。以下同解法一。

20、（本小题满分13分）已知函数，其中。
（1）讨论函数的单调性，并求出的极值；
（2）若对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围。
解析：(1)，所以。
易知，在单调递减，在单调递增。
所以.
（2）.

21.（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列满足,是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由。
(3) 令,记数列的前项和为,其中,证明：。
解析：(1) 因为,即
又,所以有,即
所以数列是公比为的等比数列.
由得,解得。
从而，数列的通项公式为。
(2)=，若成等比数列，则，
即．
由，可得，
所以，解得：。
又，且，所以，此时．
故当且仅当，.使得成等比数列。
(3)

∴

易知递减，∴0＜
∴，即。

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