高中数学典型题解题技巧.doc

快速解决一个概率小题
2011.06.20

有一个数学题（全国数学二卷）的（11）题，想请教您怎么做？

拜托了，多谢您！有时间来唐山，别忘记了找我。138......

周老师 0:43:14
不必客气。这个题如果用普通方法很麻烦，我的方法是这样的。把球体想象成圆，那么所以的截面可以理解为圆中的弦。画出图像，量出N的直径，带入圆的表面积方程即可。4π*（1.8）的平方，大约为13π，故选D。

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关于一个函数小题的快速解题
2010.02.10

关于一个解三角形的快速解题
2010.12.28

快速解决一个椭圆小题
2010.11.22

[解析几何] 关于一个解析几何问题的快速解题方法
2010.11.07

[函数] 借助向量求多元函数的最值问题
2010.10.27
看这个你会吗？
因式分解：a（a＋2）+1
原式＝（a＋1）^2 ——（a＋1）的平方。

再看这个你会吗？ 因式分解：（x＋y）（x＋y＋2）＋1
把（x＋y）看作一个整体，可设x＋y＝a
则原式＝a（a＋2）+1＝……=（x＋y＋1）^2

现在看看这个问题：因式分解：a(a+1)(a+2)(a+3)+1 思路跟上面两个题的一致。观察一下系数，我们可以这样组合： [a(a+3)][(a+1)(a+2)]+1
原式＝（a^2+3a)(a^2+3a+2)+1
＝（a^2+3a)^2+2（a^2+3a)+1
＝（a^2+3a+1）^2

本题，就是：连续四个整数的乘积与1的和是一个完全平方数。

如果读懂的话，再试试这个？因式分解：(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15
原式=(a^2+8a+7)(a^2+8a+15)+15
＝（a^2+8a)^2+22（a^2+8a)+120
＝（a^2+8a+12）（a^2+8a+10)
＝（a+2)(a+6）（a^2+8a+10）
[求最值] 借助向量求多元函数的最值问题
2010.10.27

以上五道例题利用了向量独特的几何性质和代数运算的完美结合，即向量的内积，把复杂的、看似无从入手的代数问题转化为向量问题， 这不仅有助于培养学生数形结合的数学思维，还会激励学生的发散思维，使其在以后的解题过程中，手法更具有灵活性和技巧性。
[函数] 关于一个函数的快速解题
2010.09.30

我们来看一个函数的快速解题。

这个题怎么做呢？乍一看，有三次方，用导数么？太费事。
函数求范围，画图么？懒得画。
那怎么做呢？给大家个参考时间，1分钟左右，请大家试试看吧？
过几天公布结果。
注：如果你用5分钟甚至更长的时间做出来，其实已经很慢了。
[函数] 答网友问，一个函数题
2010.02.15

周老师：麻烦您帮我解一道题
若不等式x^2－2mx＋2m＋1﹥0 对 0≤x≤1 的所有实数x 都成立，求m取值范围
答案为m﹥﹣1/2
不理解答案怎么得出的
答复：
这种题如果用普通方法需要画图，如果用技巧则即为简单。令f(0)>0,f(1)>0,求交集即可。
[二项式] 如何求所有x的奇次项的系数和及所有x的偶次项的系数和
2010.05.17

[二项式] 求二项式展开式中系数最大项的快速方法
2010.05.17.1

[数列] 求二项式展开式中系数最大项的快速方法
2010.05.14

[立体几何] 教你换个角度来做题。
2010.05.14.1

[排列组合] 排列组合中的分书问题
2010.05.12

[排列组合] 快速解决组合数问题
2010.05.12.1

[立体几何] 快速解决求三角形ABC重心到面α的身影长
2010.05.12.2

三角形ABC在平面α的同侧，A、B、C到α的身影长分别为2、3、4，求三角形ABC重心到面α的身影长。 该题怎么做呢？
告诉你们一个公式，记住即可。三边之和除以3。
因此，本题的答案是：（2+3+4）/3等于3。
你学会了么？
[不等式] 解一个高二不等式
2010.05.12.3

[微积分（导数）] 一个导数题的新解法
2010.04.06

已知y=x^3-3bx+3b，在[3,5]恒正，求b的范围。
该题的传统方法都是先求导，然后列表，求b的范围，非常麻烦，而且特别容易算错。
今天我们说一种新的方法，不仅速度快，而且正确率极高。
因为恒正，所以x^3-3bx+3b>0，b<x^3/(3x-3)，这时就非常简单了，
只需知道x^3/(3x-3)的最小值即可，给其求导得x^2(2x-3)/(3(x-1)^2)，令其为0得x=0或x=3/2，均在[3,5]之外，且当x>3/2时为增函数，因此当x=3时，取最小值9/2。
故b<9/2。本来很麻烦的一道大题就这样被破解了。
·[数列] 07年北京西城一模数列填空技巧
2010.03.31

（07年北京西城一模）等比数列{an}中，a(n+4)=an，则公比q=______.
该题可以这样想，我们不论令n等于多少，这两项都是一样的，因此，q=1，它是一个常数列。需要注意的是等比数列的公比q不能为0。
·[数列] 一个数列题的快速解题技巧
2010.03.31.1

（06北京西城一模）如果假设等差数列{an}的公差为d，则数列a1+a4，a2+a5，a3+a6是（ ）。
A、公差为d的等差数列，B、公差为2d的等差数列，
C、公比为d的等比数列，D、公比为2d的等比数列。
我的方法是，令等差数列{an}的公差为1，即a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,a6=6，那么a1+a4=5，a2+a5=7，a3+a6=9，很明显，它的公差是2（即2d）的等差数列，故选B。
[向量] 关于用向量如何表示向量的填空题
2010.03.30

有一个题，已知向量OA=向量a，向量OB=向量b，O为原点，对任意一点P关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为Q，请用向a、b表示向量PQ.
这个题怎么做呢？经常用同学问我这类题，其实，这是一种小题，我们完全没必要按照大题的方法用做。因为“请用向a、b表示向量PQ”，我们可以知道答案是唯一的，也就是说，随意设几个简单的坐标，答案都是一样的，因此，我们把A点和B点都画在坐标轴上，同学们试一试，是不是很快就算出来了。
[向量] 2009年全国第8题的快速解法
2010.03.30.1

（2009全国8）设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，向量a+向量b=向量c，则<向量a，向量b>为（ ）
A、150度，B、120度，C、60度，D、30度。
讲解：该题的普通方法是向量a*向量b=|a|*|b|cos<向量a，向量b>来做，非常麻烦；
我是这样做的：由向量a+向量b=向量c，说明它是一个闭合的三角形；由|a|=|b|=|c|，说明这个三角形还是个等边三角形。好了，画出等边三角形，很明显，向量的角为120度。
你想到了么？
·[微积分（导数）] 关于倾斜角取值范围的快速解题技巧。
2010.03.23

点P在曲线y=x^3-x+3上移动，过P的切线的倾斜角的取值范围是（ ）
A、【0，π）， B、【0，π/2）并【3π/4，π），
C、【0，π/2）并（π/2，3π/4】， D、【0，π/4】并【3π/4，π）。
快速解法：
求导，得k=3x^2-1，不论x取任何数，k都是大于等于-1，k即为tan，故tan大于等于-1，因为倾斜角是0到π之间，因此结合tan图像知道，选B。
[向量、集合] 快速解决向量集合问题
2010.03.13

（2008江苏，苏州）已知向量集合M={a|a=（1，2）+&（3，4），&属于R}，N={a|a=（-2，-2）+&（4，5），&属于R}，则M交N=（ ）
A、{（-1，1）}，B、{（1，1）,(-2,-2)}，
C、{（-2，-2）}，D、空集。
该题的快速解题技巧是：
从答案入手，给M中的&取任意数，根本无法出现A中的值，同理可排除B，而M中&代入-1刚好满足（-2，-2），故选C。
[解三角形] 解三角形的快速解题技巧
2010.03.07

（2005江苏，5）三角形ABC中，A=π/3，BC=3，则三角形ABC的周长为（ ）
A、4√3sin（B+π/3）+3，B、4√3sin（B+π/6）+3，
C、6sin（B+π/3）+3，D、6sin（B+π/6）+3
法一，普通方法，正弦余弦定理，非常麻烦；
法二，快速解题技巧。我们不妨假设该三角形为等边三角形，周长为9，而B=π/3，故选D
[向量] 一个空间向量填空题的解题技巧
2010.03.06

有同学问我一个题，大家一起来分析一下。
对任意一点O和不共线的三点A、B、C，并且向量OP=x乘向量OA+y乘向量OB+z乘向量OC，若四个点P、A、B、C共面，则x+y+z=_________。
法一：普通方法非常麻烦，我们这里不加讲解；
法二：设点法，一般解题技巧。题中给出的点都是任意的，没有特殊要求，而结论是固定的，那我们可以随意设出几个点来，比如0（0，0，-1），A（0，1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（2，1，0），注意四点P、A、B、C是共面的。把这些点代入题中给出的方程得，（2，1，1）=x（0，1，1）+y（1，0，1）+z（1，1，1），所以2=y+z，1=x+z，x+y+z=1，很简单吧。请同学们试一试，还能怎么取呢？
法三：快速解题法。P、A、B、C共面，因此有一个点的坐标是一样的，比如z坐标都是0，而O点的z坐标比如是2，代入已知方程，有2=2x+2y+2z，化简即可，非常容易。