四年级奥数讲义111学子教案库07年春小4第10讲基础教师.doc

第十讲 乘法原理与加法原理 乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法 ，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1m2mn种不同的方法乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步，步步相关。”【例1】 有5个人排成一排照相，有多少种排法？5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法分析：5个人排成一排照相，从左到右共5个位置。第一个位置可从5个人中任选一人，有5种选法；第二个位置只能从剩下的4个人中任选一人，有4种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。每个位置上站了一人就是一种排法。根据乘法原理，共有54321=120种排法。5个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有5个位置，类似的方法可得共有54321=120种排法。这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位，类似的分析可知共有4321=24种排法。限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步安排限定的人，有2种方法；第二步安排其它的4人，类的分析，有4321=24种方法，根据乘法原理，共有2（4321）=242=48种排法.【例2】 由数字2、3、4、5、6、7、8共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 分析：/要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取3、5、7中的一个，有3种不同的取法；十位上，故可由乘法原理解决所以，由2、3、4、5、6、7、8共可组成3654=360个没有重复数字的四位奇数【例3】 （1）如图，把A、B、C、D、E这五个部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？（2）（小数报数学竞赛初赛）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色共有多少种不同的染色方法？分析：（1）CABDE，根据乘法原理有： 43222=96种.（2）用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有：5433333=4860种不同的染色方法【例4】 （1）（迎春杯决赛）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵”有多少种不同的放法？分析： （1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：109=90种不同的放置方法对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有：98=72种不同的放置方法因此，总共有：7290=6480种不同的放置方法（2）第一列有2种放法第一列放定后，第二列又有2种放法如此下去，共有2222=16种不同的放法【例5】 有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？分析：将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。下图表示10块糖分在五天吃：第一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四天吃2块，第五天吃2块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有29512（种）。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有512种。 加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法 ，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N= m1 + m2 +mk 种不同的方法。加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。【例6】 大林和小林共有小人书不超过50本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？分析：大林有0本书，小林有050本书，51种情况；大林有1本书，小林有049本书，50种情况；大林有2本书，小林有048本书，49种情况；大林有49本书，小林有01本书，2种情况；大林有50本书，小林有0本书，1种情况；所以共有：1+2+3+51=1326种情况.【例7】 小明要登上10级台阶，每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？分析：登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+23（种），一般地，登上第n级台阶，或者从第（n1）级台阶跨一级上去，或者从第（n2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（n1）级和第（n2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（ab）种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。如右图，由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数。【例8】 在右图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？分析：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右下图中的D点，不是经过左边的E点，就是经过下边的F点。如果到E点有a种走法（此处a6），到F点有b种走法（此处b4），根据加法原理，到D点就有（ab）种走法（此处为64=10）。我们可以从左下角A点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图），最后得到共有35条不同路线。【例9】 （1）（第五届希望杯六年级培训试题）如右图（1），从学校到少年宫的最短路线有多少条？（2）（第五届希望杯六年级1试）小君家到学校的道路如右图（2）所示。从小君家到学校的最短路线有多少种不同的走法？分析：（1）最短路线只能向上或向右走，利用加法原理如下图（3），有90种最短路线；（2）如下图（4），10种不同走法. 综合应用【例10】 （1）用0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的4位数？其中偶数和奇数分别有多少个？（2）利用数字1，2，3，4，5共可组成多少个数字不重复的偶数？分析：（1）用0、1、2、3可以组成没有重复数字的4位数：3321=18（个）；先计算偶数的个数，末尾数字为0或2，若末尾数字为0，那么前3位有 321=6种，若末尾数字为2，那么前3位有221=4种，因此其中偶数有10个，那么奇数就有18-10=8个.（2）分为5种情况：一位偶数只有两个：2和4；二位偶数共有：24=8（个）； 三位偶数由上述(2)中求得为24个；四位偶数共有2(432)=48个括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)；五位偶数共有2(4321)=48个；由加法原理，偶数的个数共有：2+8+24+48+48=130【例11】 在1到3000中含数字7的数有多少个？ 分析：正面想很困难，我们不妨从另外一个角度考虑，知道这其中不含7的数字有多少个，就能知道含7的数字有多少个。不含7的：一位数8个，两位数有89=72个，三位数有899=648个，四位数有：2999=1458个，所以含有7的数字有3000-8-72-648-1458=814个.【例12】 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5315种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5210种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有326种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 1510 631种.【例13】 左下图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点，其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？分析：本题可将从A到B分为三段，先是从A到C，再从C到D，最后从D到B。如右上图所示，从A到C有3种走法，从C到D有4种走法，从D到B有6种走法。因为从A到B是分几步走的，所以应该用乘法原理，不同的路线共有：34672（条）. 附加题目【附1】（1）（第四届小数报竞赛初赛）从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中最多有多少种不相同的票价？（2）用两个3，一个1，一个2可组成不同的四位数，这些四位数共有多少个？（3）在下面一排数字中间的任意两个位置写上两个“”号，可以得到三个自然数相加的加法算式，所有可以这样得到的不同的加法算式共有多少个？1 2 3 4 5 6 7 8 9分析：（1）共有8个站每个站到其它7个站各需1种车票，共有78=56种车票因为A站到B站与B站到A站的票价相同，所以最多有562=28种票价（2）四个不同的一位自然数可以组成4231=24（个）不同的四位数.当其中两个数码相同时，位置互换时数不变.所以组成的不同四位数共有：242=12（个）.（3）8个位置插入2“+”号，共有872=28（种） 方法.【附2】用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂法？分析：按题意可知，1、4对称，2、3对称，这样1、2、A、B、C、D、E均有两种选择， 2222222=128种。【附3】在所有的四位数中，前两位的数字之和与后两位的数字之和都等于6的共有多少个？分析：前两位有：15，24，33，42，51，60六种，后两位增加“06”这种情况，所以共67=42（种）.【附4】（小学数学奥林匹克决赛）由1、2、3、4四个数字组成的四位数共有24个，将它们从小到大排列起来，第18个数等于多少？分析：千位是1、2、3、4的各有244=6(个)，63=18，所以第18个数是千位是3的最大的数3421【附5】（小学数学奥林匹克决赛）由1、2、3、4、5五个数字组成的五位数共有120个，将它们从大到小排列起来，第95个数等于多少？分析：万位是5，4，3，2，1的各有1205=24(个)，244=96，所以第95个数是万位是2的数中第二小的数21354.【附6】一次考试的选择题有A,B,C,D四个选项，允许选一项或者多项（可以全选，但不能都不选），问这个选择题有多少种不同的答案？分析：法1：每个选项或者选或者不选，有2种可能，根据乘法原理，有2222=16种可能，但其中不允许都不选，所以有15种.法2：选一个选项有4种选法，选2个选项有6种，选3个选项有4种，选4个选项有1种，加起来也是15种.【附7】沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法？分析：如右上图所示，先标出到C点的走法数，再标出到D点和E点的走法数，然后标出到F点的走法数，最后标出到B点的走法数。共有8种不同的走法。【附8】按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条？分析：同样用上题的方法，标上数字，有55条。【附9】用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？分析：本题与例3表面上十分相似，但解法上却不相同。当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有：5433180（种）。当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有：54322240（种）。再根据加法原理，不同的染色方法共有：180240=420（种）。【附10】（第十五届迎春杯决赛）如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的。那么，这样的四位数最多能有多少个？分析：设满足题意的四位数为，三位数为容易得到a1，be9，（e0），cf9，dg9。为了计算这样的四位数最多有多少个，由题设条件a，b，c，d，e，f，g互不相同，可知，数字b有7种选法（b1，8，9），c有6种选法（c1，8，b，e），d有4种选法（d1，8，b，e，c，f)。于是，依乘法原理，这样的四位数最多能有（764=）168个。【附11】（1）有三本不同的书放到5张同样的书桌上，一共有多少种放法？ （2）一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数。例如，532吃掉311，123吃掉123。但726与267相互都不被吃掉。问：能吃掉678的三位数共有多少个？分析：（1）此题学生容易错写为5；放一本课本看成一个步，则可分为五步，故555=125种.（2）共有432=24（种）.习题十1用2、3、5、6、8、9这6个数字组成5位数，可以组成多少个奇数？ 分析：35 432=360.2（迎春杯初赛）如右图，图中有25个小方格，要把5枚不同的硬币放在方格里，使每行、每列只出现一枚硬币，那么共有多少种放法？ 分析：第一枚硬币有25种放法；第一枚硬币的位置确定后，第二枚有16种放法(与第一枚硬币不同行也不同列)同理，第二枚硬币的位置确定后，第三枚硬币有9种放法第三枚硬币的位置确定后，第四枚硬币有4种放法第四枚硬币的位置确定后，第五枚硬币只有一种放法根据乘法原理，共有2516941=14400种放法3如右图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？分析：共有不同的染色方法：54332360（种）。4. 在右图中，从A点沿最短路径到B点，共有多少条不同的路线？分析：56.5如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选法?分析：34+35+45=12+15+20=47种 6从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？分析：法1：将符合要求的自然数分为以下三类：(1)一位数有8个，(2)二位数有89=72个，(3)三位数有：299=162个因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有：8+72+162=242个法2 ：将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有：399-1=242(个)课外数学 数和数字一样吗？我们学数学，整天和数与数字打交道，那么数和数字是一回事吗？你注意到它们之间的区别了吗？你知道吗，小兰和小华还为这事吵起来了呢。事情是这样的，数学兴趣小组的张老师，给大家出了一个讨论题：数和数字的含义是不是相同的？小兰不加思索地说：“当然相同。”张老师说：“你能举个例子说明吗？”小兰很快地说：“1、2、3、可以说它是数字，也可以说它是数。”小华不服气地：问：“那么69是一个数，也是一个数字吗？”小兰说：“ 69是一个数也是一个数字。”小华说：“你说的不对，69是一个数，是由6和9这两个数字组成的，数和数字的含义是不一样的。”小兰和小华互不服气。这时有的同学同意小兰的意见，也有的赞成小华的说法。大家展开了热烈的讨论。意见一直统一不起来。张老师看着大家的认真劲，笑了，她说。“数可以表示物体的多少或排列顺序；数字是写数用的符号，也叫数码。我们用1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这十个数字按一定数位顺序排列来表示数。用它们可以写出任意一个数。”听了张老师的话，小兰点了点头。