《信号估值与检测》习题答案.doc

1． 令观测样本由

给出，其中是一高斯白噪声，其均值为零，方差为1。假定的先验概率密度为
试用平方和均匀代价函数分别求的贝叶斯估计。

解：
，

且
（1） 采用平方代价函数，相应贝叶斯估计为最小均方误差估计

分析，发现其为高斯型的；而为其条件均值，因此可以直接得到

（2） 采用均方代价函数，相应贝叶斯估计为最大后验估计
，也即满足

故有
所以

2． 设观测到的信号为

其中是方差为、均值为零的高斯白噪声。如果服从瑞利分布，即

求的最大后验概率估计。

解：
根据题意，，所以
，
且

所以，解得：

因为
所以

3． 给定，是零均值、方差为1的随即变量
（1） 求的最大似然估计。
（2） 对下列求最大后验概率估计

解：
（1） 根据题意，，所以

（2） 根据题意， ，，
因此

5．考虑一个假设检验问题，已知

1） 设若，试求。
2） 设，试建立奈曼-皮尔逊准则。
解：

1）记似然比检验门限为，似然比检验判决式为

化简得判决表示式

讨论：

当时，判决表示式为

即

当时，判决表示式为

即

而，所以，判决表示式统一为
，

，

当时，似然比检验门限为

检测门限为

这样，为

又当时，根据判决表示式
，
解得时，判决表示式为

，判决假设成立

，判决假设成立
而根据判决表示式

解得时，判决表示式为

，判决假设成立

，判决假设成立

这样，判决表示式为

，

，

又由于都是以纵坐标为对称的函数，所以

2）当约束时，采用奈曼-皮尔逊准则，也分三种情况进行讨论。

一、 当时，始终判决假设成立，所以，不满足约束条件，不存在奈曼-皮尔逊准则。

二、 当时，判决域的划分如题图（a）所示。如果取，则。
这时判决概率

满足约束条件。
判决概率

三、当时，判决域划分如图（b）所示。
如果取，则。
如果取，则随增大而增加。
所以，当时，不满足约束条件，不存在奈曼-皮尔逊准则。
综上，当约束条件为时，采用奈曼-皮尔逊准则的，判决域划分如图（c）所示。

6.设观测信号在两个假设下的概率密度函数分别如下图所示
x
p(x/H0)
p(x/H1)
1/3
1
0
x
-1
-1
1
2
0

1） 若似然比检验门限为，求贝叶斯判决表达式。
2） 如果。

解 ：

1）假设H0下观测信号的概率密度函数为

假设H1下观测信号的概率密度函数为

于是，似然比检验为

化简得判决表示式

2）若似然比检验门限=1，则判决表示式为

所以，判决概率为

判决概率为

信号检测与估计理论作业

姓名：唐美思

学号：20072575

班级：通信0703

2010年11月