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高三期末考前模考数学文科试题
2013-1-20
一、 选择题：
1. 若集合，，则A∩B =（ ）
A. [0,1] B. [0,+∞） C. [-1,1] D.
2. =（ ）
A．1 B. e-1 C.e D.e+1
3.若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]
4. 右图是2013年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生
打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数
据的平均数和方差分别为
A. 84,4.84 B. 84,1.6
C. 85,1.6 D. 85,4
5. 已知为等差数列，若，则
A. 24 B. 27
C. 15 D. 54
6.设在处可导，且＝1,则＝ ( )
A.1 B.0 C.3 D.
7. 的展开式中的系数为 （ ）
A．-56 B．56 C．-336 D．336
8. 若，则的值为( )
A． B．－ C． D．
9．下列函数中,图像的一部分如右图所示的是 （ ）
A．y=sin(x+)
B．y=sin(2x－)
C．y=cos(4x－)
D．y=cos(2x－)
10. 函数在定义域R上不是常数函数，且满足条件：对任意R，
都有,则是( )
A. 奇函数但非偶函数 B. 偶函数但非奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数
11. 已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是
A.1 B. C. D.
12.函数，已知在时取得极值，则= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，
13．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_____________．
14．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都是，则总体中的个体数为 。
15．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x＋2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______.
16.当且时，函数的图像恒过点，若点在直线上，则的最小值为
三、 解答题：，
17. 已知，其中向量,(R).
（1） 求的最小正周期和最小值；
（2） 在△ ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若，a=2，求边长的值.
18（本小题满分12分）将一个质地均匀的正方体（六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5）和一个正四面体（四个面分别标有数字1，2，3，4）同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”。设复数为
（1）若集合，用列举法表示集合A；
（2）求事件“复数在复平面内对应的点”的概率。
19.某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：
（1）仓库面积S的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
20.（本小题满分12分）设分别是椭圆：的左、右焦点，过倾斜角为的直线与该椭圆相交于P，两点，且.
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点满足，求该椭圆的方程。
21. 已知为等比数列，；为等差数列的前n项和，.
（1） 求和的通项公式；
（2） 设，求.
22. 已知函数
(1) 当时，求函数的最值；
(2) 求函数的单调区间；
(3) 试说明是否存在实数使的图象与无公共点.
参考答案
一、选择题：1.C 2. C 3. A 4. C 5. B 6.C 7. A 8. C 9. D 10. B 11.D 12.D
二、填空题： 13.1 14. 240 15. y=2x+4 16.
三、解答题：
17. 解：(1) f(x)=a·b-1=(sin2x,2cosx)·(,cosx)-1
＝sin2 x +2cos2 x -1=sin2x+cos2x=2sin（2x＋）……………………………4分
∴f(x)的最小正周期为π，最小值为-2.……………………………………………………6分
(2) f()=2sin（＋）=
∴sin（＋）＝………………………………………………………………………8分
∴＋＝∴ A＝或 （舍去）………………………………………………10分
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA
52＝64＋c2-8c即c2-8c+12=0
从而c=2或c=6……………………………………………………………………………12分
18 解：（1） ………………4分
（2）满足条件的基本事件空间中基本事件的个数为24 ………………5分
设满足“复数在复平面内对应的点”的事件为B。
当； ………………10分
即共计11个，
所以： ………………12分
19．解析：（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则S=xy，由题意得40x+2×45y＋20xy=3 200,应用二元均值不等式，得3 200≥2+20xy,即S+6≤160,而（+16）（-10）≤0.
∴≤10S≤100.
因此S的最大允许值是100米2.
（2）当
即x=15米，即铁栅的长为15米.
20. 解：（Ⅰ）直线斜率为1，设直线的方程为，其中.……2分
设，则两点坐标满足方程组
化简得，则，
因为，所以.………………6分
得，故，
所以椭圆的离心率. ……………………8分
（Ⅱ）设的中点为，由（1）知
由得. ……………………10分
即，得，从而.故椭圆的方程为…………12分
21. 解：（1） 设{an}的公比为q，由a5=a1q4得q=4
所以an=4n-1.……………………………………………………………………………………4分
设{ bn }的公差为d，由5S5=2 S8得5(5 b1+10d)=2(8 b1+28d)，
,
所以bn=b1+(n-1)d=3n-1.…………………………………………………………………………8分
（2） Tn=1·2+4·5+42·8+…+4n-1 (3n-1),①
4Tn=4·2+42·5+43·8+…+4n(3n-1),②
②-①得：3Tn=-2-3(4+42+…+4n)+4n(3n-1)…………………………………………………10分
= -2+4(1-4n-1)+4n(3n-1)
=2+(3n-2)·4n……………………………………………………………………………………12分
∴Tn=（n-）4n+
22.解：（1） 函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞)……………………1分
当a=1时，，所以f (x)在为减函数 ………………3分
在为增函数，所以函数f (x)的最小值为=.………………………5分
(2) ………………………………………………6分
若a≤0时，则f(x)在(1,+∞)恒成立，所以f(x)的增区间为(1,+∞).…………………………………………………………………………8分
若a＞0，则故当， ，………… 9分
当时，f(x) ,
所以a＞0时f(x)的减区间为，f(x)的增区间为.………10分
(3) a≥1时，由（1）知f(x)在(1,+∞)的最小值为，……11分
令在 [1,+∞)上单调递减，
所以则>0，…………………………12分
因此存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于，
故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与无公共点.……………………………14分
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