广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（二）数学（文）.doc

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广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（二）
数学(文)试题
本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
l．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号
填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改
液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
如果事件A、B互斥，那么。
线性回归方程中数计算公式
其中表示样本平均值。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i是虚数单位，复数对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若集合，集合，则“a=3”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，若，则 （ ）
A． B． C． D．

4．已知实数x，y满足不约束条件，则目标函数z=x－y的最大值等于 （ ）
A．7 B．4 C．3 D．5
5．在△ABC中，若·，则△ABC的形状是 （ ）
A．∠C为钝的三角形 B．∠B为直角的直角三角形
C．锐角三角形 D．∠A为直角的直角三角形
6．已知函数的一部分图象如图1所示，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为1，其直观图和正（主）视图如图2，则它的左（侧）视图和面积是 （ ）
A．
B．1
C．
D．
8．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为 （ ）
A． B． C． D．
9．已知各项不为0的等差数列满足：，数列是各项均为正值的等比数列，且，则等于 （ ）
A． B．－ C． D．
10．给出下列四个命题：
①命题，则；
②当时，有；
③函数的零点个数有3个；
④设有五个函数，其中既是偶函数又在上是增函数的有2个。
其中真命题的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题。每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11～13题）
11．公路部门对通过某路段的300辆汽车的车速进行检测，将
所得数据按分组，绘
制成如图所示的频率分布直方图，图中a的值等于 ；
这300辆汽车中车速低于60km/h的汽车有 辆。
12．某程序框图如图4所示，该程序运行后输出M。N的值依次
为 。

13．对大于或等于2的自然数m的n次幂有如下分解方式：
22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7
22=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19
根据上述分解规律，则52=1+3+5+7+9，若m3（m）的分解中最小的数为73，则m的值为
。

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A的坐标为，曲线C的方程为，则OA（O为极点）所在直线被曲线
C所截弦的长度为 。
15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，过圆C外一
点P做一条直线与圆C交于A，B两点，AB=2AP，
PT与圆C相切于T点。已知圆C的半径为2，
∠CAB=30o，则PT= 。
三、 解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求此时x的值。

17．（本小题满分12分）
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：
实验顺序
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
零件数x（个）
10
20
30
40
50
加工时间y（分钟）
62
67
75
80
89
（1）在5次试验中任取2次，记加工时间分别为a，b，求事件“a，b均小于80分钟”的概率；
（2）请根据第二次，第三次，第四次试验的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）根据（2）得到的线性回归方程预测加工70个零件所需要的时间。

18．（本小题满分14分）
如图6，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60o。
（1）求证：OM∥平面PAB；
（2）平面PBD⊥平面PAC；
（3）当四棱锥P－ABCD的体积等于时，求PB的长。

19．（本小题满分14分）
设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点。
（1）若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；
（2）对于由（1）得到的椭圆C，过点P的直线交x轴于点Q（－1，0），交y轴于点M，若,求直线的斜率.

20．（本小题满分14分）
已知函数。
（1）若a=1，求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若在的最小值为，求a的值；
（3）若在上恒成立，求a的取值范围。

21．（本小题满分14分）
已知点…都在函数的图象上。
（1）若数列是等差数列，求证数列是等比数列；
（2）若数列的前n项和是，过点的值线与两坐标轴所围三角形面积为，求最小的实数t使对恒成立；
（3）若数列为由（2）中得到的数列，在与之间插入个3，得一新数列，问是否存在这样的正整数m，使数列的前m项的和，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由。

参考答案
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
B
D
D
A
A
C

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11．, 12. 34, 55 13. ; 14. 15.
(第11题第一空分,第二空分)
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(本小题满分12分)
（本小题主要考查三角两角和的正余弦公式,三角特殊值的运算,函数的周期,最值等知识,考查化归、转化、换元的数学思想方法，以及运算求解能力）
解：（1）
…………2分

…………3分
…………4分
…………5分
…………6分
的最小正周期为 …………7分
(2)由(1)知,
由,得, …………8分
当,即时, 取得最大值; …………10分
当,即时, 取得最小值.…………12分
17．( 本小题满分12分)
（本小题主要考查考查互斥事件、古典概型、线性回归,样本估计总体等知识，考查或然与必然,样本估计总体的统计思想方法，以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识）
解:(1)构成的基本事件
有:,共有个． …………2分
其中“均小于80分钟”的有共个. …………3分
事件 “均小于80分钟”的概率为. …………4分
(2)， …………5分
…………6分

. …………8分
…………9分
关于的线性回归方程 …………10分

（3）由(2)知关于的线性回归方程为,
当时,. …………11分
预测加工个零件需要分钟的时间. …………12分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
解:(1)在中，、分别是、的中点,
是的中位线，
， …………1分
平面，平面，……3分
平面. …………4分
(2) 底面是菱形,
， ………5分
平面,平面
. …………6分
平面,平面,,
…………7分
平面, …………8分
平面, …………9分
平面平面. …………10分
(3) 底面是菱形,
菱形
的面积为,…………11分
四棱锥的高为,,得 …………12分
平面,平面,
. …………13分
在中,. …………14分
19．(本小题14分)
（本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力）
解:(1) 由已知,设. …………1分
则直线的斜率,
直线的斜率.
由,得. …………2分
…………3分
,得, …………4分
. …………5分
椭圆的离心率. …………6分
(2) 由题意知直线的斜率存在. …………7分
设直线 的斜率为 , 直线的方程为 …………8分
则有，
设，由于三点共线，且
根据题意，得 …………9分
解得或 …………11分
又点在椭圆上，又由（1）知椭圆的方程为
所以…………①
或 …………②
由①解得，即,
此时点与椭圆左端点重合, 舍去; …………12分
由②解得，即 …………13分
直线直线的斜率. …………14分
20． (本小题满分14分)
（本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识，考查化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力）
解:(1)当时,
. ……………… 1分

曲线在点处的切线方程为,即. ………3分
(2) . ……………… 4分
①若,则,即在上恒成立,此时在上为增函数,
……………… 5分
,
(舍去); ……………… 6分
②若,则,即在上恒成立,此时在上为减函数,
……………… 7分
,
(舍去); ……………… 8分
③若,令得,
当时,,在上为增函数,
当时,,在上为减函数, ……………… 9分
,
.
综上所述,. ……………… 10分
（3）又 ……………… 11分
令则
. ……… 12分
当时,,在上是减函数.
,即,在上也是减函数.
, ……………… 13分
当时, 在上恒成立. ……………… 14分
21．(本小题满分14分)
（本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）
解:（1）证明：数列是等差数列，设公差为，则对恒成立， ……………… 1分
依题意，， ……………… 2分
所以是定值， ……………… 3分
从而数列是等比数列． ……………… 4分
（2）解：当时，，当时，，也适合此式，
即数列的通项公式是． ……………… 5分
由，
数列的通项公式是， ……………… 6分
所以，．
过这两点的直线方程是：，
可得与坐标轴的交点是和． ……………… 7分
，……………… 8分
由于……………9分
即数列的各项依次单调递减，所以． ……………… 10分
（3）数列中，（含项）前的所有项的和是
……… 11分
估算知，当时，其和是， ……………… 12分
当时，其和是，
又因为，是3的倍数，故存在这样的，使得， ……………… 13分
此时． ……………… 14分
·14·