山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试（1月）数学理试题.doc

山东师大附中2010级高三第四次模拟考试
数学（理工类） 2013年1月
命题人： 孙 宁 王俊亮
1. 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试时间120分钟.
2. 本试卷涉计的内容: 集合与逻辑、基本初等函数（Ⅰ）（Ⅱ）、导数及其应用、三角函数、数列、不等式、向量、立体几何
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．

2．设全集，
则右图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3.已知各项均为正数的等比数列{}中,则( )
A. B.7 C.6 D.4
4. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D .

5.已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的
半径为1，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．

6.正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为

A. B. C. D.

7.已知满足，则的最小值为( )
A. 5 B. -5 C . 6 D. -6
8.为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
9.已知>0，，直线=和=是函数图象的两条相邻的对称轴，则=( )
A . B . C . D .
10.若正数满足，则的最小值是( )
A. B. C. 5 D. 6
11.函数的图象大致为( )

A. B. C. D.
12.设是空间两条直线，，是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（ 　）
A．当时，“”是“∥”成立的充要条件 　　
B．当时，“”是“”的充分不必要条件
　　C．当时，“”是“”的必要不充分条件
　　D．当时，“”是“”的充分不必要条件

山东师大附中2010级高三第四次模拟考试
数学（理工类） 2013年1月
第II卷（共90分）

二填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．设函数
当时,
14．设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，
则=_______________.
15．已知中，若为的重心，则 ．
16.已知函数的导函数为，且满足，则在点处的切线方程为

三解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分12分）
设的内角 的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.

18.（本题满分12分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求函数单调递增区间

19.(本题满分12分)
已知球的直径为，求它的内接圆锥体积的最大值,并求出此时圆锥的底面半径和高.

20．（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，是等比数列，且，，
．
（1）求数列和的通项公式
（2）数列满足，求数列的前项和．

21.（本题满分12分）
四棱锥底面是平行四边形，面面,
,,分别为的中点.
（1）求证：
（2）求证：
（3）求二面角的余弦值

22.（本题满分14分）
已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）已知对定义域内的任意恒成立，求实数的范围.
山东师大附中2010级高三第四次模拟考试
数学（理工类） 2013年1月
一选择题（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
A
A
A
C
D
A
A
C
C
C
二填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13． 14． 15． 4 16.
三解答题
17.【解析】（1），由正弦定理得--3分
即得，.---------------------------------------------------6分
（2），由正弦定理得，-------------------------8分
由余弦定理，，---------10分
解得，.-----------------------------------------12分稿源：konglei
18【解析】：（Ⅰ）--------1分
----------2分
----4分
------------------6分
函数的最小正周期为 ，-------------------7分
函数的最大值为-------------8分
（II）由 ------------------10分
得 ------------------------11分
函数的 单调递增区间为------------12分
19【解析】设圆锥的底面半径为 ，高为,则----2分
--------------------5分
，
，------------7分

---9分
，----------------------11分
此时 --------------------------12分
20．【解析】：（Ⅰ）设的公差为，的公比为
由，得，从而
因此 ………………………………………3分
又，
从而，故 ……………………………6分
（Ⅱ）
令
……………9分
两式相减得

，又 ………………………12分
G
20【解析】（1）-----1分

,所以 ---2分

------------------------4分

（2） ----------------①
所以 -------6分

-----------------------②--------------------------------------------------7分
由 ①②可知，
-----------------------------------------------9分
N
(3)取 的中点,

是二面角
的平面角 ----------------------------11分
由 （2）知

即二面角的余弦值为---------------12分
解法二 （1）
所以
z
x
y

建系令
,

因为平面PAB的法向量

(2)

(3) 设平面PAD的法向量为 ,
令所以
平面PAB的法向量
，即二面角的余弦值为
22【解析】：-----2分
（Ⅰ）当时，的变化情况如下表：

1

+
0
-
0
+

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是………………6分
（Ⅱ）由于，显然时，，此时对定义域内的任意不是恒成立的， ----------------------------------9分
当时，易得函数在区间的极小值、也是最小值即是，此时只要即可，解得，实数的取值范围是.-----------14分