山东省济宁市金乡一中2013届高三1月考前模拟数学（理）试题.doc

金乡一中2012—2013学年高三1月考前模拟数学（理）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合M={y|y=2x,xÎR},集合S={x|y=(x−1)}, 则下列各式中正确的是（ ）
A.M∪S=M B.M∪S=S C.M=S D.M∩S=Æ
2.设i是虚数单位,则复数(1−i)−等于（ ）
A．0 B．2 C．4i D．−4i
3.如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为( )
A． B． 　　 C． D．16
4.若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线，；②存在一个平面，；③存在两条平行直线∥∥；④存在两条异面直线∥∥．那么可以是∥的充分条件有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5.设函数，其中θ∈，则导数的取值范围是（ ）
A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]
6.数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 用数字组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（ ）
A. B. C. D.
8. 椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9．过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
A. B. C. D.
O
A
B
P
C
9.如图，在等腰直角中，设为上靠近点的四等分点，过作的垂线，设为垂线上任一点， 则 （ ）
A. B. C. D .
10.若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，，，则球的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
11. 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（ ）种.
A．114 B．150 C．72 D．100
12.定义域为的偶函数满足对，有，且当 时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[来源:学科网]
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上。
13.已知数列为等比数列，且，则的值为_________________.
14.圆内的曲线与轴围成的阴影部分区域记为（如图），随机往圆内投掷一个点，则点落在区域的概率为_________________.

15.已知是双曲线：的左焦点，是双曲线的虚轴，是的中点，过的直线交双曲线于，且，则双曲线离心率是_________________.
16.在中，角所对的边分别为且，，若,则的取值范围是 _____________.
三、解答题: 本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. （本小题满分13分）
已知函数，三个内角的对边分别
为.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求角的大小.

18．(本小题12分)三棱锥P−ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,
(1)证明:平面PAB⊥平面PBC；
(2)若PA=,PC与侧面APB所成角的余弦值为,PB与底面ABC成60°角,求二面角B―PC―A的大小.

19. （本小题满分12分）
　　　已知函数
（1） 当时,求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.

20. （本小题满分12分）
已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.
（1）求抛物线方程及其焦点坐标；
（2）已知为原点，求证：为定值.

21. （本小题满分12分）
已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x−kx+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)£0恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)证明:<(nÎN*,N>1).

参考答案;
1-5 ADACD 6-10 ACDAB 11-12 DB
13. ； 14. ； 15. ； 16.
17.（1）因为

[来源:Zxxk.Com]
又的单调递增区间为，
所以令
解得
所以函数的单调增区间为，
(2) 因为所以，
又，
所以，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
所以
由正弦定理
把代入，得到 [来源:Zxxk.Com]
又，所以，所以
18.(1)证明：∵PA^面ABC,\PA^BC,
∵AB^BC,且PA∩AB=A,
\BC^面PAB
而BCÌ面PBC中,\面PAB^面PBC. ……5分
解:(2)过A作
则ÐEFA为B−PC−A的二面角的平面角 ……8分
由PA=,在RtDPBC中,ÐCOB=.
RtDPAB中,ÐPBA=60°.
\AB=,PB=2,PC=3
\AE==
同理：AF= ………10分
\ÐEFA==, ………11分
\ÐEFA=60.
19. 解：当时，，
又，，
所以在处的切线方程为
（2）
当时，
又函数的定义域为
所以 的单调递减区间为
当 时，令，即，解得
当时，，
所以，随的变化情况如下表

无定义

0

极小值
[来源:学,科,网]
所以的单调递减区间为，，
　　　　　单调递增区间为
当时，
所以，随的变化情况如下表：

0

无定义

极大值

所以的单调递增区间为，
　　　　　单调递减区间为，
20. 解：（1）将代入，得
所以抛物线方程为，焦点坐标为
（2）设，，，
因为直线不经过点，所以直线一定有斜率
设直线方程为
与抛物线方程联立得到 ，消去，得：

则由韦达定理得：

直线的方程为：，即，
令，得
同理可得：
又 ，
所以

所以，即为定值
21.解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）. 因为点A在抛物线上.所以，即.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（2）： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为．
A
y
B
O
x
由消去得…①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
　　由　消去y得. ………………②
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即. 　　③
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝. 解得　　　④
又AB过C1、、＼、、C2的焦点，所以
，
则 ⑤
由④、⑤式得，即．
解得于是
因为C2的焦点在直线上，所以.
　或．
由上知，满足条件的、存在，且或，．
22.解:(1)=−k(x>0).
\①当k£0时,>0,f(x)的增区间为(0,+¥);
②当k>0时,由−k³0得0<x£,由−k£0得x³,
即当k>0时, f(x)的增区间为(0,],递减区间为[,+¥).
(2)由(1)可知:当k£0时,f(x)无最大值,不合题意,
\k>0,
由(1)的②知f(x)在x=取得最大值.
\f(x)£0恒成立的条件是f()=£0,
解得k³1.
从而,所求k的取值范围是[1,+¥).
(3)由(2)可得,当k=1时,f(x)=x−x+1<0在(1,+¥)上恒成立,
令x=n2,得n2<n2−1(n>1),
即<.
\++…+<[1+2+…+(n−1)]=,
从而原不等式得证.