云南省2011届高三数学一轮复习专题题库：立体几何（28）.doc

331. 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a、b都垂直B.有一平面与a、b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交解析： 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对；若有平面与a、b都垂直，则ab不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.332. 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平行.已知：a,b, c.来源:Zxxk.Com求证：要么a、b、c三线共点，要么abc. 证明：如图一，设abA，a.a而Aa.A.来源:Zxxk.Com又b来源:学|科|网b,而Ab.A.则A，A，那么A在、的交线c上.从而a、b、c三线共点.如图二，若ab，显然c，b a而 a, c. ac从而 abc333. 一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度，那么木梁升高多少?解析： 设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么ABa，MANB，MANBb,AB90.设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么L平面MANB，木梁绕L转动角度后位于CD位置，T为CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.在平面MANB中，作TKAB，交MA于K，则AKST.设STx，则xb-KM.又KTCT，KTC，有KCasin.从而KM.xb-.334. (1)棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是：( )A.棱柱有一条侧棱与底面垂直B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直D.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直解析： 根据直棱柱定义，A是充分条件，C、D不是必要条件，所以选B.说明 解答此题要熟知直棱柱的定义及其充分必要条件的含义.335. 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为、.求证：cos2+cos2+cos21解析：证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法.证明：设对角线B1D与长方体的棱AD、DC、D1D所成的角分别为、，连结AB1、CB1，D1B1，则B1DA、B1DC、B1DD1都是直角三角形.cos,cos,coscos2+cos2+cos21.评析：这里运用了长方体对角线长定理.336. 在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC10cm,BC12cm，顶点A1与A、B、C的距离等于13cm，求这棱柱的全面积.解析：如图，作A1O平面ABC于O，A1AA1BA1C，OAOBOC，O是ABC的外心，ABC等腰，AOBC于D，AA1BC，B1BBC，四边形B1BCC1为矩形，S1213156(cm2),A1AB底边上高A1E12，120(cm2),SABC12848(cm2),S全156+2120+248492(cm2)337. 在平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别是a,b,c，这三条棱长分别是a,b,c，这三条棱中每两条成60角，求平行六面体积.解析：如图，设过A点的三条棱AB，AD，AA1的长分别是a,b,c,且两面所成角是60，过A1作A1H平面ABCD，H为垂足，连HA，则HAB30，由课本题得：cosA1ABcosA1AHcosHAB,cosA1AH,sinA1AH来源:Z。xx。k.ComVSABCDA1Habsin60csinA1AHabc.338. 在棱长为a的正三棱柱ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底中心，P为OO1的中点，过P、B1、C1作一平面与此三棱柱相截，求此截面面积. 解析： 如图，AA1面A1B1C1，AA1OO1，设过P、B1、C1的截面与AA1的延长线交于Q，连结A1O1延长交B1C1于D，连QD，则P必在QD上，O1为A1B1C1的中心，P为OO1的中点，故，Q在A1A延长线上且QAPO1，又QB1交AB于E，QC1交AC于F，则EFB1C1，所以截面为EFB1C1是等腰梯形，又QA1QA31，EF 设QD与EF交于H，得QDB1C1.因此HD为梯形EFC1B1的高.DQa,HDa.(a+)(a)a2为所求截面积.339. 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为a，D为CC1的中点.(1)求证：A1B平面AB1D.(2)求平面A1BD与平面ABC所成二面角的度数.来源:Zxxk.Com解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都还是要利用直线和平面中的有关知识.解 (1)正三棱柱的各棱长都相等，侧面ABB1A1是正方形.来源:Zxxk.ComA1BAB1.连DE，BCDA1C1D，BDA1D，而E为A1B的中点，A1BDE.A1B平面AB1D.(2)延长A1D与AC的延长线交于S，连BS，则BS为平面A1BD和平面ABC所成二面角的公共棱.DCA1A，且D为CC1的中点，ACCS.又ABBCCACS，ABS90.又AB是A1B在底面上的射影，由三垂线定理得A1BBS.A1BA就是二面角A1BSA的平面角.A1BA45，平面A1BD和平面ABC所成的二面角为45.评注：本题(2)的关键是根据公理二求平面A1BD和平面ABC的交线，在论证ABBS时，用到了直角三角形斜边上的中线性质定理的逆定理.当然(2)还可以用S射Scos来解.340. 如图，已知正三棱柱A1B1C1ABC的底面积等于cm2，D、E分别是侧棱B1B，C1C上的点，且有ECBC2DB，试求(1)四棱锥ABCDE的底面BCED的面积(2)四棱锥ABCED的体积(3)截面ADE与底面ABC所成二面角的大小(4)截面ADE的面积解析： 利用三棱柱的性质及已知条件，(1)、(2)、(4)不难推算，至于(3)，可设平面ADE与平面ABC所成二面角为，观察到ADE在底面ABC的射影是ABC(DB平面ABC，EC平面ABC)应用SABCSADEcos，可求出.解：设ABC边长为x，SABCx2.x2，于是ECBC2，DBBC1，SBCED (2+1)23，作AFBC于F来源:学.科.网Z.X.X.K来源:Zxxk.ComAF平面BCED，VA-BCEDAFSBCED，VA-BCED23在RtABD中，AD2AB2+DB222+125；在Rt梯形BCED中，DE2(CE-DB)2+BC25来源:学|科|网Z|X|X|KADDE，ADE是等腰三角形，作DQAE于Q，则Q为AE的中点在RtACE中，AE2EC2+AC28，DQ2AD2-AQ2()2-()23AE，DQ，SADEAEDQ设截面ADE与底面ABC所成二面角大小为，D、E分别在底面的射影为B、C，ABC的面积ADE面积cos即cos,cos,45来源:学_科_网答 (1)SBCED3cm2,(2)VA-BCEDcm2,(3)截面ADE与底面ABC成45的二面角，(4)SADEcm2