湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考理科数学试题.doc

湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学理科答案
一、DBCBA BBDCD
二、 11．－ 12． 13．720 14． 15． 7（3分） （2分）
三、16．∵数列{an}为等差数列，∴a1+a3=2a2=0,代入得：f(x+1)+f(x-1)=0,解得x=1或3．
∴a1,a2,a3依次为-2，0，2或2,0,-2．∴an=2n-4或an=-2n+4．
又{log3bn}为等差数列，且{log3bn}的前10项和为45，
∴{bn}为等比数列且log3b5+log3b6=9，即b5b6=39．
而b5=81，∴b6=35，公比q=3，故bn=b5·3n-5=3n-1．
综上：an=2n-4或an=-2n+4 , bn=3n-1．
(2)由（1）结合条件知an=2n-4, 当n=1时，|a1+b1|=1．
当n>=2时，|an+bn|=an+bn，
此时，Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+（an+bn)-2(a1+b1)=n2-3n++2=n2-3n+．
综上：(n∈N*)．
17． (1)f(x)= sinωx- cosωx+m+=sin(ωx-)+m+
∵点(，1)是f(x)图象的对称中心，且与其相邻的一条对称轴为x=，∴f(x)的周期T=(- )×4=π，∴ω=2. 将点(,1)坐标代入f(x)的解析式得m=，∴f(x)=sin(2x-)+1.
将f(x) =sin(2x-)+1的图象横坐标缩短为原来的一半，得到图象的函数解析式为y=sin(4x- )+1)；再将其图象纵坐标扩大到原来的2倍得到图象的函数解析式为g(x)=2sin(4x- )+1.
（2）由余弦定理，，
当且仅当时取等号，即时等号成立.
因为为三角形的内角，所以.
∴，所以，所以
故的取值范围为.
18．解法一：(1)连结OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.

又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD，而AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.
(2)假设存在这样的C点，设．在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，
由(1)知，平面POD⊥平面PAC，所以OH⊥平面PAC.
又PA⊂面PAC，所以PA⊥OH．
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连结HG，则有PA⊥平面OGH．
从而PA⊥HG，故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．
在Rt△ODA中，OD＝OA·sin＝sin.
在Rt△POD中，OH＝＝．
在Rt△POA中，OG＝＝＝.
在Rt△OHG中，sin∠OGH＝＝．
所以cos∠OGH＝＝＝，
解得，即，∴，即C为的中点．
故当C为的中点时，二面角B－PA－C的余弦值为.
解法二：(1)同解法一 (1) ．
(2)如图所示，以O为坐标原点，OB， OP所在直线分别为x轴， z轴，过 O与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系．

则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(cosα, sinα,0)，P(0,0，)，D.
设m＝(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则由m·＝0，m·＝0，得
即
取，得m＝．
因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n＝(0,1,0)．
设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝＝，
又二面角B－PA－C为锐二面角，∴＝，
解得，∴，即，即C为的中点．
故当C为的中点时，二面角B－PA－C的余弦值为.
19．（Ⅰ）从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 个．
设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，∴P(A)= ．
（Ⅱ）设特等奖奖金为a元，一个人参加此次活动的收益为ξ，则ξ的可能取值为-100，900，a．
P(ξ=-100)=，P(ξ=900)=，P(ξ=a)= ．
∴ξ的分布列为
ξ
-100
900
a
P

∴．
∴该集团公司收益的期望为，
由题意，解得a≤9900．
故特等奖奖金最高可设置成9900元．
20． (1)连结QN，则|QN|=|PQ|．当a>1时，则点N在圆内，此时|QN|+|QM|=|PQ|+|QM|=|PM|=2a，且2a >|MN|,
故Q的轨迹为以M,N为焦点的椭圆，此时曲线C的方程为．
当a<1时，则点N在圆外，此时||QN|-|QM||=||PQ|-|QM||=|PM|=2a，且2a <|MN|,
故Q的轨迹为以M,N为焦点的双曲线，此时曲线C的方程为 ．
(2)由（1）知，此时曲线C为椭圆，其方程为．
设直线l的方程为：x=my+1(m≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2).
联立得,消去x得方程： [(a2-1)m2+ a2]y2+2m(a2-1)y-a2(a2-1)=0 (*)
则y1+y2=,y1y2= ①
设直线AE与x轴交于D(n,0)，则kAE=kAD.即,
将x1=my1+1,x2=my2+1代入并整理得： 2my1y2+(1-n)(y1+y2)=0 ②
把①代入②整理得：，∴当n=a2时，恒成立，即直线AE恒过定点（a2，0）．.
由于点G为曲线C上的动点，故当点G与椭圆的短轴顶点重合时，的面积取最大值，其最大值为．
21．（Ⅰ）由，有，
当时，时，单调递增；当时，时，单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅱ）设，则.
由（Ⅰ）知，在单调递减，
∴，即是减函数，
而，所以，得，
得，故.
（Ⅲ）由，及柯西不等式可知，

所以，
所以
又，由（Ⅱ）可知，即，.
所以.
故.