初中奥数不等式题型解法初探.doc

初中奥数不等式题型解法初探
（摘要）：本文对初中奥数中出现的不等式题型解题中常见方法和技巧进行了归纳和总结，针对具体题目分四种方法进行讲解。
（关键词）：不等式
不等式涉及数量之间大小的比较，揭示变量之间的制约关系，其内容非常丰富，应用相当广泛，在数学的所有领域中都起着重要作用。初中数学竞赛中不等式的题目多种多样，解题方法和技巧也是多种多样，通过对不等式的解法的学习，可以开阔学生的解题思路，活跃学生思维，从而达到提高学生智力的目的。本文将联系不等式的一些知识，集中介绍不等式证明和求解的一些方法和技巧。
一、比较法
比较法是实数比较大小中最常用的方法，常用的比较方法有：作差、作商、平方、倒数等方法。
（一）、作差比较
例1、比较：与的大小
解：－
＝
＝
＝＞0
∴＞
（二）、作商比较
例2、设P＝－,Q＝－,R＝－,则P、Q、R的大小关系？
解：∵＝＝＜1
∴＜
∴P＞Q
同理Q＞R
（三）、平方比较
例3、比较：＋与的大小。
解：()2＝4000+2
＝4000+2
(2)2＝4×2000
＝4000＋2
∴(2)2＞()2
∵＞0，2＞0
∴2＞
（四）、倒数比较
例4、比较－与－的大小。
解：∵＝
＝+
∴＞
∵－＞0，－＞0
∴－＜－
二、放缩法
放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不到结论，或得出相反的结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。
例5、已知x、y是实数，且x2＋xy＋y2＝1
求证：≤x2－xy＋y2≤3
分析：因为x2＋xy＋y2＝1，欲证≤x2－xy＋y2≤3
即证：≤2xy≤
由完全平方可知，x2＋y2≥2xy，或x2＋y2≥－2xy
证明：①当x，y同号时，x2＋y2≥2xy
则x2＋xy＋y2≥2xy＋xy＝3xy
∴3xy≤1，0＜xy≤
∴x2－xy＋y2≥xy
∴x2－xy＋y2≥
②当x，y异号时，
x2＋y2≥－2xy
则x2＋xy＋y2≥－2xy＋xy＝－xy
∴－xy≤1
0＞xy≥－1
∴x2－xy＋y2≥－3xy
x2－xy＋y2≤3
∴≤x2－xy＋y2≤3
③当x，y中有一个为0，则另一个为1，则x2－xy＋y2＝1，显然满足。
证毕
总之，如何确定放缩的尺度是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。而基本不等式，在放缩法的应用有着重要作用。
三、构造法
在不等式的解题过程中，构造技巧常被采用，作为促进转化、简化、证明的手段，无疑它是最能体现创造思维和转化能力的重要一环。
（一）构造二次函数
例6、已知当0≤x≤1时，二次三项式x2－2ax＋a2－1的值恒为正数，求实数a的范围。
解：令y＝x2－2ax＋a2－1＝[(x—a)2－1] ＝(x－a—1) (x－a＋1)
则这个函数的图象与x轴交总为（a－1，0），（a＋1，0） y
∵二次项系数为1，∴图象开口向上
∵当0≤x≤1时，二次三项式的恒为正数
∴函数图象，如图所示
可分两种情况：
①由a－1＞1时，得a＞2
②由a＋1＜0时，得a＜－1 0 a-1 a+1 x
∴a的取值范围是a＞2或a＜－1
（二）构造图形
例7、已知0＜a＜c，0＜b＜c，求证：＋＋＋≥2c
分析：根据题意，可联系勾股定理，此题可作长为c的正方形，a、b为其边上的线段长。
由图可知：＝AE
＝CE
c＝AC
根据三角形两边之和大于第三边，可得： A D
＋≥c B
同理可得：＋≥c
当a＝b＝时，取等号
上两式相加即得所需证明的不等式成立。 B C
四、反证法
例8、设正数x、y、z满足不等式＞1
求证：x＋y－z＞0
证明：由题设不等式变形得：z(x2＋y2－z2)＋x(y2＋z2－x2)＋y(z2＋x2－y2)－2xyz＞0
z[(x＋y)2－z2]＋x[(y－z)2－x2]＋y[(z－x)2－y2]＞0
分解因式得：(x＋y－z)(y＋z－x)(z＋x－y)＞0 （*）
不妨设0＜x≤y≤z
∵y＋z＞x，z＋x＞y
假设x＋y－z≤0，则(x＋y－z)(y＋z－x)(z＋x－y)≤0
这与（*）式矛盾
∴x＋y－z＞0
以上都是从问题的结构特征着手，多角度、多方面、多层次地思考问题，仔细分析数量关系，揭示条件与结论的联系，联想概念、性质、定理、公式，依次确定科学合理的解题方法，从而使问题得到简捷、巧妙地解决。这种灵活的证题方法，可以达到提高学生智力，培养解题技巧和创造力的目的。

参考文献
1、岑申、王而治 数学竞赛阶梯训练 浙江教育出版社 1999．1
2、刘汉文 初中数学竞赛同步辅导 华中师大出版社 1999．1
3、单 、熊斌 奥数教程 华东师大出版社 2000．11
4、丰宪、愚石 初中数学竞赛题解精选 华中师大出版社 1999．2
5、方运加、董凤举 数学奥林匹克教材 首都师大出版社 1994．8

初中奥数不等式题型解法初探

作者： 傅永华

所在学校：诸暨市店口一中

写作日期：2001年12月