全等三角形和轴对称的期末复习资料.doc

全等三角形
[全等形]
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
[全等三角形]
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
[全等三角形的性质]
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等
[找对应边、对应角的方法]
（1）公共边是对应边，公共角是对应角
（2）对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角
（3）对应角所夹的边是对应边，对应边所夹的角是对应角
（4）最长（最短）边是对应边，最大（最小）角是对应角
（5）平行边是对应边，对顶角是对应角
三角形全等的条件
[边边边]
三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）
[边角边]
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)
[角边角]
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）
[角角边]
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（AAS）
[斜边、直角边]
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（HL）
角平分线的性质
[角平分线的作法]
[角平分线的性质]
在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
∴PM=PN
[角平分线的判定]
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN
∴OP平分∠AOB
[三角形的角平分线的性质]
三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
轴对称
[轴对称图形]
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．毛
有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．
[轴对称]
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
[图形轴对称的性质]
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
[轴对称与轴对称图形的区别]
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．
[线段的垂直平分线]
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．
轴对称变换
[轴对称变换]
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．
[轴对称变换的性质]
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
[作一个图形关于某条直线的轴对称图形]
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

用坐标表示轴对称
[关于坐标轴对称]
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）
[关于原点对称]
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）
[关于坐标轴夹角平分线对称]
点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）
点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）
[关于平行于坐标轴的直线对称]
点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；
点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；

等腰三角形
[等腰三角形]
有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
[三角形按边分类]
三角形
[等腰三角形的性质]
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.
[等腰三角形的判定定理]
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
特别的：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．
（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．
（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．
（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
[利用“三角形奠基法”作图]
根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形.
等边三角形
[等边三角形]
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
[等边三角形的性质]
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
[等边三角形的判定方法]
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[直角三角形的性质]
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
[三角形中的边角不等关系]
（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.（简称为：大边对大角）
（2）在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.（简称为：大角对大边）
[添加辅助线口诀]
几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.
线段垂直平分线，常向两端来连线. 线段和差及倍分，延长截取全等现；
公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.
角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现；
角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。
巩固练习
一、 选择
（07天河）5．下列各组数中，以，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　 　）．
A．=1.5，b=2，c=3 B．=7，b=24，c=25
C．=6， b=8，c=10 D．=3，b=4， c=5
（07天河）7．沿着虚线将矩形剪成两部分，（图中实点为对称中心或中点）既能拼成三角形又能拼成梯形的是（ ）．

　　　　　Ａ．　　　　　　Ｂ．　　　　 　　Ｃ．　　 　　　Ｄ．
（07天河）8．如图1所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心、正方形对角
线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ 　）．
A． B．1.4 C． D．
（07天河）10．如图3，在中，AC＝5，BC＝4，沿直角边所在的直线向右平移3，连结AD、AE、DC，估计所得到的四边形AECD的周长与（　　　）最接近．
A．10 B． 11 C．12 D． 13
图2
A
B
E
C
F
D
图3

图1

A
C
B

第5题---图

（08天河）5．如图，与关于直线对称，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．

D
第8题--图
B
C
E
A
（08天河）8．如图，已知：AB∥ED，CE=CA，∠E=，
则∠CAB的度数为（　　）．
A． B． C． D．

第9题--图

（08天河）9．如图，中，，，垂直平
分，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．

二、填空
（08天河）第15题--图

15．如图，点在的平分线上，若使，则需添加的一个条件是 ．（只写一个即可，不添加辅助线）

三、 解答

（08天河）17（1）在图1所示编号为①，②，③，④的四个三角形中，关于坐标轴对称的两个三角形共有__________对；分别是 （写三角形编号）

O

图1
②
①
③
④

O

图2
Ａ．
Ｂ
Ｃ
第17题--图
（2）在图2中，画出与关于轴对称的．并写出其中一对对应点的坐标．

（08天河）第22题--图
22．（本题满分12分）
如图，坐标轴上点、C的坐标分别为（，0）、（0，1），
点A关于y轴的对称点为，设点的坐标为（，0）．
（1）求的值；
（2）试判断△ABC的形状并求出该三角形的面积；
（3）求的值．

（08天河）23．（本题满分12分）
如图所示，在中，分别是和上的一点，与交于点，给出下列三个条件：①；②；③．
（1）上述三个条件中，哪两个条件组合可以判定是等腰三角形（用序号写出所有的情形）；
（2）选择（1）小题中的一种情形，证明是等腰三角形．