小专题(四) 全等三角形的性质与判定.doc

小专题(四)　全等三角形的性质与判定
1．如图所示，D、E是△ABC中BC边上的点，AD＝AE，∠ADC＝∠AEB，EB＝DC，那么∠1和∠2之间是什么关系？说你的理由．

2．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB.求证：AE＝CE.

3．已知：如图，AB，CD交于点O，E，F为AB上两点，OA＝OB，OE＝OF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.求证：△ACE≌△BDF.

4．如图，已知AC交BD于点O，AB＝DC，∠A＝∠D.
(1)请写出符合上述条件的五个结论(并且不再添加辅助线，对顶角除外)；

(2)从你写出的5个结论中，任选一个加以证明．

5．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2.请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．(不再添加辅助线和字母)

6．如图，在△ABC中，MN⊥AC，垂足为N，且MN平分∠AMC，△ABM的周长为9 cm，AN＝2 cm，求△ABC的周长．

7．如图所示，要测量湖中小岛E距岸边A和D的距离，作法如下：(1)任作线段AB，取中点O；(2)连接DO并延长使DO＝CO；(3)连接BC；(4)用仪器测量E，O在一条线上，并交CB于点F，要测量AE，DE，只需测量BF，CF即可，为什么？

8．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示方式放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一直线上，连接DC.

(1)请找出图2中的全等三角形，并予以证明；

(2)求证：DC⊥BE.

9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在边BC上，∠CAE＝∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE，试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由．

10．(南京中考)(1)如图1，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，求证：△ABC≌△DEF.

(2)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是锐角，请你用尺规在图2中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)

参考答案
1． 在△ADC和△AEB中，
所以△ADC≌△AEB(SAS)．
所以∠DAC＝∠EAB.
因为∠EAB－∠DAE＝∠DAC－∠DAE，
所以∠1＝∠2.　
2. 证明：∵FC∥AB，∴∠ADE＝∠CFE.
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(ASA)．
∴AE＝CE.　
3. 证明：∵OA＝OB，OE＝OF，∴OA－OE＝OB－OF，
即AE＝BF.在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF(AAS)．　
4. (1)五个结论：OB＝OC；OA＝OD；AC＝DB；∠ABO＝∠DCO；∠ABC＝∠DCB.
(2) 选证OB＝OC.在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO(AAS)．
∴OB＝OC.　
5. 答案不唯一，可以是∠E＝∠B，∠D＝∠A，FD＝CA，AB∥ED等．
以DF＝AC加以证明．∵BF＝EC，
∴BF－CF＝EC－CF，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．　
6. 因为MN平分∠AMC，所以∠AMN＝∠CMN，
因为MN⊥AC，所以∠MNA＝∠MNC＝90°.
在△AMN和△CMN中，
所以△AMN≌△CMN(ASA)．
所以AN＝NC，AM＝CM.
因为AN＝2 cm，所以AC＝2AN＝4 cm.
又因为△ABM的周长为9 cm，
所以△ABC的周长为9＋4＝13(cm)．
7． 由条件可知，△AOD≌△BOC，∴BC＝AD.
又∠A＝∠B，∠AOE＝∠BOF，AO＝BO，故△AOE≌△BOF.
∴AE＝BF.
∴DE＝CF.
因此只要测出BF，CF即可知AE，DE的长度了．　
8. (1)图2中△ABE≌△ACD
.证明：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.
∴△ABE≌△ACD(SAS)．
(2) 证明：由(1)知△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠B＝45°.
又∵∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°
.∴DC⊥BE.
9． BD＝AC，理由如下：过D点作AC的平行线交AE的延长线于F，则∠CAE＝∠F.
又∵∠AEC＝∠DEF，E是CD的中点，
∴CE＝DE.∴△AEC≌△FED.
∴AC＝FD.
又∵AD平分∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAD.
又∵∠B＝∠F，AD为公共边，
∴△ABD≌△AFD.
∴BD＝DF.
∴BD＝AC.　
10. (1)证明：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°－∠ABC＝180°－∠DEF，即∠CBG＝∠FEH.
在△CBG和△FEH中，
∴△CBG≌△FEH(AAS)．
∴CG＝FH
.在Rt△ACG和Rt△DFH中，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)．
∴∠A＝∠D.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
(2)略