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动小专题（四） 函数的图象和性质
本专题对函数的图象和性质进行复习与深化，这类题目考查的知识点较多，要求学生的能力也较强，试题呈现多样.解这类题一要有数形结合思想，二要有函数思想.要善于将题目中的条件转化为点的坐标、变量之间的关系.复习时，深刻理解函数是刻画动态问题的最佳数学模型，从而灵活建立函数关系式，熟悉各种题型的解题策略，不断丰富解题经验.
类型1 同一坐标系下多个函数图象
例1 (2013·杭州)给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=的图象.
①如果>a>a2，那么0<a<1；②如果a2>a>，那么a>1；③如果>a2>a，那么－1<a<0；④如果a2>>a，那么a<－1，则( )

A.正确的命题是①④ B.错误的命题是②③④ C.正确的命题是①② D.错误的命题只有③
【解答】一次函数与反比例函数联立方程组
解得或
故一次函数与正比例函数的交点坐标为(1，1)、(－1，－1).
∵y=x2过(1,1)，
∴(1,1)是三个函数图象的交点.
又y=x与y=x2都过原点，
∴(0,0)是它们的一个交点.
自变量取值
a<－1
－1<a<0
0<a<1
a>1
函数大小
a2>>a
a2>a>
>a>a2
a2>a>
可知①、④正确；②、③错误，故选A.
方法归纳：根据函数图象比较自变量的取值范围时，一般是看界点左右两边自变量所对应函数值的大小情况.有时自变量的取值范围不止一段，所以不要漏解.

1.(2014·淄博)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y=－的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为( )
A.y=x2－x－2 B.y=x2－x+2 C.y=x2+x－2 D.y=x2+x+2

2.(2014·泰安)已知函数y=－(x－m)(x－n)(其中m<n)的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是( )

类型2 二次函数的图象与性质综合
例2 (2013·新疆改编)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点的坐标是(4，3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小?若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.

【思路点拨】(1)用待定系数法求抛物线解析式；
(2)利用二次函数图象的轴对称和两点之间线段最短确定点D位置，并求出周长的最小值.
【解答】(1)把A(1，0)，C(4，3)代入y=ax2+bx+3，得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2－4x+3.
(2)存在.假设抛物线对称轴上存在点D，使△BCD的周长最小.
∵△BCD的周长=BD+CD+BC，而BC是定值.∴当BD+CD最小时，△BCD的周长最小.
由y=x2－4x+3=(x－2)2－1知，抛物线的对称轴为直线x=2.
∵点A与点B关于直线x=2对称，∴AD=BD.
∴BD+CD=AD+CD.
故当A、D、C三点在同一条直线上时，AD+CD最小.即D为直线AC与直线x=2的交点.
∵直线AC经过点A(1，0)，C(4，3).
∴直线AC的解析式为y=x－1.
当x=2时，y=2－1=1.∴D的坐标为(2，1).
方法归纳：二次函数图象关于对称轴对称，常常利用这一性质解决线段最短或周长最短问题.

1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值.

2.(2013·昆明改编)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在边BC上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点D的坐标.

3.(2014·黔西南改编)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(－3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合).经过点P作y轴的垂线，重足为E，连接AE.
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如果P点的坐标为(x,y)，△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求S的最大值.