一维装箱问题典型算法PPT课件.ppt

第三章 装箱问题信息处理中的组合优化1.第三章 装箱问题1 装箱问题的描述2 装箱问题的最优解值下界3 装箱问题的近似算法2.第三章第三章 装箱问题装箱问题 装箱问题（Bin Packing）是一个经典的组合优化问题，有着广泛的应用，在日常生活中也屡见不鲜.1 装箱问题的描述 设有许多具有同样结构和负荷的箱子 B1，B2，其数量足够供所达到目的之用.每个箱子的负荷（可为长度、重量 etc.）为 C,今有 n 个负荷为 wj，0 wj C j=1，2，n 的物品 J1，J2，Jn 需要装入箱内.装箱问题：装箱问题：是指寻找一种方法，使得能以最小数量的箱子数将J1，J2，Jn 全部装入箱内.3.1 装箱问题的描述 由于 wi C，所以 BP 的最优解的箱子数不超过 n.设箱子 Bi 被使用否则物品 Jj 放入箱子 Bi 中否则则装箱问题的整数线性规划模型为：约束条件（1）表示：一旦箱子 Bi 被使用，放入 Bi 的物品总负荷不超过 C；约束条件（2）表示：每个物品恰好放入一个箱子中.4.第三章 装箱问题 上述装箱问题是这类问题最早被研究的，也是提法上最简单的问题，称为一维装箱问题.但装箱问题的其他一些提法：1、在装箱时，不仅考虑长度，同时考虑重量或面积、体积 etc.即二维、三维、装箱问题；2、对每个箱子的负荷限制不是常数 C;而是最优目标可如何提？3、物品J1，J2，Jn 的负荷事先并不知道，来货是 随到随装；即 在线（On-Line）装箱问题；4、由于场地的限制，在同一时间只能允许一定数量的 箱子停留现场可供使用,etc.5.1 装箱问题的描述BP 的应用举例：1、下料问题 轧钢厂生产的线材一般为同一长度,而用户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸,如何根据用户提出的要求，用最少的线材截出所需的定货；2、二维 BP 玻璃厂生产出长宽一定的大的平板玻璃,但用户所需玻璃的长宽可能有许多差异，如何根据用户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货;3、计算机的存贮问题 如要把大小不同的共 10 MB 的文件拷贝到磁盘中去，而每张磁盘的容量为 1.44 MB,已知每个文件的字节数不超过 1.44 MB,而且一个文件不能分成几部分存贮，如何用最少的磁盘张数完成.4、生产流水线的平衡问题 给定流水节拍 C,如何设置最少的工作站，（按一定的紧前约束）沿着流水线将任务分配到各工作站上.称为带附加优先约束的 BP.BP 是容量限制的工厂选址问题的特例之一.Go back6.第三章 装箱问题2 装箱问题的最优解值下界 由于 BP 是 NP-C 问题，所以求解考虑 一是尽可能改进简单的穷举搜索法，减少搜索工作量.如:分支定界法；二是启发式（近似）算法.显然 是它的一个最优解.7.2 装箱问题的最优解值下界Theorem 3.1BP 最优值的一个下界为表示不小于 a 的最小整数.Theorem 3.2 设 a 是任意满足 的整数,对 BP 的任一实例 I,记则是最优解的一个下界.8.第三章 装箱问题aCC/2C-aI1I2I3Proof:仅考虑对 I1,I2,I3中物品的装箱.中物品的长度大于C/2,每个物品需单独放入一个箱子，这就需要 个箱子.又 中每个物品长度至少为 a,但可能与 I2 中的物品共用箱子，它不能与 I1 中的物品共用箱子,与 I2 中的物品如何？由于放 I2 中物品的 个箱子的剩余总长度为 在最好的情形下，被 I3 中的物品全部充满，故剩下总长度 将另外至少 个附加的箱子.Note:可能小于零是最优解的一个下界.9.2 装箱问题的最优解值下界问？未必！如Corollary 3.1记则 L2 是装箱问题的最优解的一个下界，且 .Proof:L2 为最优解的下界是显然的.(若证明 ，则可得 )当 a=0 时，是所有物品.Go back10.第三章 装箱问题3 装箱问题的近似算法一、NF(Next Fit)算法 设物品 J1，J2,，Jn 的长度分别为 w1，w2,，wn箱子 B1，B2，的长均为 C，按物品给定的顺序装箱.先将 J1 放入 B1,如果 则将 J2 放入 B1 如果 而则 B1 已放入 J1，J2,，Jj，将其关闭，将 Jj+1 放入 B2.同法进行，直到所有物品装完为止.特点：1、按物品给定的顺序装箱；2、关闭原则.对当前要装的物品 Ji 只关心具有最大下标的已使用过的箱子 Bj 能否装得下？能.则 Ji 放入 Bj；否.关闭 Bj，Ji 放入新箱子 Bj+1.计算复杂性为 O(n).11.3 装箱问题的近似算法Example 1物品J1J2J3J4J5J6wj674283I:C=10J1J5J6J4J3J2B1B2B3B4B5J1J2J3J4J5J6Solution:首先，将 J1 放入 B1;由于 J2 在 B1 中放不下,所以关闭 B1,将 J2 放入 B2,J3 在 B2 中放不下(不考虑B1 是否能装),所以关闭 B2将 J3 放入 B3，解为:其余为零，12.第三章 装箱问题Theorem 3.3Proof:先证再说明不可改进设 I 为任一实例，(要证 )显然，由 得反证如果 ,则 对任意 i=1,2,k由于起用第 2i 个箱子是因为第 2i-1 个箱子放不下第2i个箱子中第一个物品,因此这两个箱子中物品的总长度大于 C，所以前 2k 个箱子中物品的总长度大于 Ck.这与 矛盾.考虑实例 I:C=1,13.3 装箱问题的近似算法二、FF(First Fit)算法 设物品 J1，J2,，Jn 的长度分别为 w1，w2,，wn箱子 B1，B2，的长均为 C，按物品给定的顺序装箱.物品J1J2J3J4J5J6wj674283I:C=10 用 NF 算法装箱,当放入 J3 时,仅看 B2是否能放入，因 B1 已关闭,参见 EX.1但事实上，B1 此时是能放得下 J3 的.如何修正 NF 算法先将 J1 放入 B1，若 ,则 J2 放入 B1,否则，J2 放入 B2;若 J2 已放入 B2，对于 J3 则依次检查 B1、B2,若 B1 能放得下,则 J3 放入 B1,否则查看 B2,若 B2 能放得下，则 J3 放入 B2,否则启用 B3,J3 放入 B3.14.第三章 装箱问题 一般地，J1,，Jj 已放入 B1,，Bi 箱子，对于 Jj+1,则依次检查 B1，B2,，Bi，将 Jj+1 放入首先找到的能放得下的箱子，如果都放不下，则启用箱子 Bi+1，将 Jj+1 放入 Bi+1，如此继续，直到所有物品装完为止.计算复杂性为 O(nlogn).特点：1、按物品给定的顺序装箱；2、对于每个物品 Jj 总是放在能容纳它的具 有最小标号的箱子.但精度比NF 算法更高15.3 装箱问题的近似算法Theorem 3.4Theorem 3.5对任意实例 I，而且存在 任意大的实例 I，使因而16.第三章 装箱问题Example 2物品J1J2J3J4J5J6wj674283I:C=10J1J5J6J4J3J2B1B2B3B4B5J1J2J3J4J5J6Solution:首先，将 J1 放入 B1;由于 J2 在 B1 中放不下,所以将 J2 放入 B2,对于 J3 ,先检查 B1 是否能容纳下,能.所以将 J3 放入 B1，解为:其余为零，17.3 装箱问题的近似算法Example 3物品J1J2J3J4J5J6wj678324I:C=10J1J4J3J2Solution:用 NF 算法B1B2B3B4B5J1J2J6J5J3J4B1B2B3B4B5J1J2J6J5J3J4J6J5用 FF 算法 参见 EX.3 用 FF 算法装箱,当放入 J4 时,B1 能容纳J4 就放入 B1，而事实上，放入 B2 更好.18.第三章 装箱问题三、BF(Best Fit)算法 与 FF 算法相似，按物品给定的顺序装箱，区别在于对于每个物品 Jj 是放在一个使得 Jj 放入之后，Bi 所剩余长度为最小者.即在处理 Jj 时，若 B1，B2,，Bi 非空，而 Bi+1 尚未启用，设 B1，B2,，Bi 所余的长度为若则将 Jj 放入 Bi+1 内;否则，从 的 Bk 中，选取 一个 Bl 使得 为最小者.BF 算法的绝对性能比、计算复杂性与 FF 算法相同.19.Example 4物品J1J2J3J4J5J6wj678324I:C=103 装箱问题的近似算法J1J4J3J2J6J5B1B2B3B4B5J1J2J6J5J3J4Solution:用 BF 算法解为:其余为零，而而 此为最优解此为最优解.20.第三章 装箱问题四、FFD(First Fit Decreasing)算法 FFD 算法是先将物品按长度从大到小排序，然后用FF 算法对物品装箱.该算法的计算复杂性为 O(nlogn).Example 5物品J1J2J3J4J5J6wj674283I:C=10J1J5J6J4J3J2Solution:已知：物品J5J2J1J3J6J4wj876432B1B2B3B4B5J1J2J3J4J5J6是最优的.NFD 算法？BFD 算法？21.3 装箱问题的近似算法Theorem 3.6Proof:显然对任意实例 I，有记首先证明两个结论：(1)FFD 算法所用的第 个箱子中每个的长度不超过记 wi 是放入第 个箱子中的第一个物品,只需证用反证法，若不然，则有 ，因此 FFD算法中前 个箱子中,每个箱子至多有两个物品.22.第三章 装箱问题 可证明存在 使前 k 个恰各含一个物品，后 个箱子各含两个物品.因为若不然，则存在两个箱子 使 Bp有两个物品 ,Bq 有一个物品 因物品已从大到小排列，故 ,因此 从而可以将wi 放入 Bq 中，矛盾.23.3 装箱问题的近似算法 因为 FFD 未将 wk+1,，wi 放入前 k 个箱子，说明其中任一个箱子已放不下,故在最优解中也至少有 k 个箱子不含 wk+1,，wi 中任一个物品.假设就是前 k 个箱子，因此在最优解中，wk+1,，wi-1 也会两两放入第个箱子中，且因为这些物品长度大于 ,所以每个箱子中只有两个物品，且 已放不下.但最优解中 wi 必须放入前 个箱子中，矛盾.故(2)FFD 算法放入第 个箱子中物品数不超过而如果至少有 个物品放入第个箱子中，记前 个物品的长度为 .24.第三章 装箱问题记 FFD 算法中前 个箱子中每个箱子物品总长为 显然，对任意否则长为 的物品可放入第 j 个箱子中，因此矛盾.所以(2)结论成立.由(1)、(2)知FFD 算法比最优算法多用的箱子是用来放至多 个物品，而每个物品长不超过 ，因此25.3 装箱问题的近似算法因此因为 如果 ，则 ，故不妨设 考虑实例 I：物品集长度为 ,C 为箱长.说明 是不可改进的.26.第三章 装箱问题 比较 NF 算法、FF(BF)算法、FFD 算法，它们的近似程度一个比一个好，但这并不是说 NF、FF(BF)就失去了使用价值.1、FF(BF)、FFD 算法都要将所有物品全部装好后,所有箱子才能一起运走，而 NF 算法无此限制，很适合装箱场地小的情形；2 2、FFD 算法要求所有物品全部到达后才开始装箱,而 NF、FF(BF)算法在给某一物品装箱时，可以不知道下一个物品的长度如何，适合在线装箱.27.存储罐注液问题第三章 装箱问题 某化工厂有 9 个不同大小的存储罐，有一些已经装某液体.现新到一批液体化工原料需要存储，这些液体不能混合存储，它们分别是 1200 m3 苯，700 m3 丁醇，1000 m3 丙醇，450 m3 苯乙醇和1200 m3 四氢呋喃.下表列出每个存储罐的属性(单位:m3),问应如何将新到的液体原料装罐,才能使保留未用的存储罐个数最多?存储罐编号123456789容 量500400400600600900800800800当前内容-苯-四氢呋喃-体 积10030028.第三章 装箱问题Solution:存储罐编号123456789容 量500400400600600900800800800当前内容-苯-四氢呋喃-体 积100300 分别记苯、丁醇、丙醇、苯乙醇、四氢呋喃为第1，2，3，4，5种液体.显然，新到液体应尽可能装入已存有此种液体的罐中.所以余下液体为：900 m3 苯，700 m3 丁醇，1000 m3 丙醇，450 m3 乙醇和700 m3 四氢呋喃.剩余空罐为1，3，4，5，6，8，9.由于不允许混合，每种液体至少需要1个空罐.令第 i 种液体装入第 j 个存储罐否则记第 j 个空罐的容量为 cj，j=1,3,4,5,6,8,9,第 i 种剩余液体的体积为 li,i=1,2,3,4,5.29.第三章 装箱问题整数规划模型：表示第j 个 空罐被使用每个罐子至多装一种液体每种液体的体积不能超过装这些液体的罐子的总容量将 li、cj 代入，可用 Lindo、Lingo 等软件求解.30.第三章 装箱问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 当问题的数据很大时，IP 的计算复杂性很高，可考虑采用近似算法或启发式算法求解.900 700 1000 450 700500 400 400 600 600 900 800 800 800苯苯丁 醇丙 醇乙 醇四氢呋喃四氢呋喃 如利用 FFD 算法思想：对每一种液体，将空罐按容积排成非增序，若需 k 个罐子，则装入具有连贯序号的罐子，使这 k 个空罐中最大容积空罐序号最大.6 8 9 4 5 1 3 7 2 6 8 9 4 5 1 3 7 2500400400600 600900800800 800苯四氢呋喃苯丁 醇丙 醇丙 醇乙 醇四氢呋喃31.第三章 装箱问题 如果算法再细一点，只需要一个空罐的液体先装，效果会好一些.6 8 9 4 5 1 3 7 2 6 8 9 4 5 1 3 7 2 900 700 1000 450 700500400400600 600900800800 800苯苯丁 醇丙 醇乙 醇四氢呋喃四氢呋喃苯丁 醇丙 醇丙 醇乙 醇四氢呋喃 后一种装法的空罐容积大，这是因为只需一个空罐的液体先装时，这部分装罐实现了最优.需要两个及以上空罐时，寻找最优算法的计算量就会变大.32.第三章 装箱问题 完33.