金融工程及金融数学期末考试要点总结.doc

第一章金融市场
§1-1 基本思想——复制技术与无套利条件
§1-2 股票及其衍生产品
§1-3 债券市场
§1-4 利率期货

§1-2 股票及其衍生产品
股票衍生产品：是一个特定的合约，其在未来某一天的价值完全由股票的未来价值决定。
卖方(writer)：制定并出售该合约的个人或公司。
买方(holder)：购买该合约的个人或公司。
标的资产：股票。
远期合约：在交割日T，以执行价格X买入一单位标的资产的合约。
ft＝St－ Xe－rT
卖空条款：
1．某人(通常从经纪人)借入具体数量的股票，今天出售这些股票。
2．借的股票在哪一天归还必须还未被指定。
3．如果借出股份的买方想出售股票，卖空者必须借其他股份以归还第一次借得的股份。

期货合约定价
期货合约是购买者和出售者双方的协议，约定在未来某一具体时间完成一笔交易。
X＝ S0erT
看涨期权到期时损益： Call=(ST－X)＋
看跌期权到期时损益： Put = (X － ST)＋
§1-3 债券市场
票面利率：以债券面值的百分比形式按年计算的定期支付。
即期利率：以当前市场价格的百分比的形式计算的每年支付。
到期收益率：如果购买并持有至到期，债券支付的收益的百分比率。
若债券面值为1，到期日为T，其现值为P(t，T)。
到期收益率R为：

利率与远期利率：
f（T1,T2）=（r2T2－r1T1）/（T2－T1）
§1-4 利率期货
国债期货定价
F t＝(P－C) er(T－t)
C表示债券所有利息支付的现值．
P为债券的现在价格。

第二章二叉树、资产组合复制和套利
§2-1 博弈法
§2-3 概率法
§2-2 资产组合复制
§2-4 多期二叉树和套利
§2-1 博弈法
假设：
l v市场无摩擦
l v存在一种无风险证券
l v投资者可用无风险利率r > 0不受限制地借或贷
l v股票的价格运动服从二叉树模型
无风险组合：选择a使得这个投资组合在t =1的两种状态下取值相等，即
U－aSu＝D－aSd
无套利机会：这个投资组合的期末价值必须等于erT(V0－aS)，
erT(V0－aS )= U－aSu＝D－aSd
要点：构造一个无风险投资组合
§2-2 资产组合复制
思想：构造资产组合复制衍生产品。
投资组合：a单位的股票＋b单位的债券（债券的面值为1美元。）
∏0＝aS0+b
复制衍生资产：选择a和b，使得组合在期末的价值与衍生资产的价值相等，即
U＝aSu+berT
D＝aSd+berT
由于组合与衍生资产在期末的现金流一样，则在期初的价值也应该相等，即
V0＝aS0+b=aS0+(U-aSu)e-rT
将衍生产品的定价公式整理可得

§2-3 概率法
1、购买一股股票
在期末， E[ST]＝Suq＋Sd（1－q）
2、以无风险利率投资，期末可得S0erT
两种投资方式在风险中性投资者眼里是一样的。
E[ST]＝Suq＋Sd（1－q）＝S0erT
可解得，

结果同博奕论方法和资产组合复制方法一样。
博弈法：构造无风险组合
概率法：风险中性概率
资产组合复制：构造资产组合复制衍生产品
定价桥梁：无套利机会

第三章股票与期权二叉树模型
§3-1 股票价格模型
§3-2 欧式看涨期权定价
§3-3 美式和奇异期权定价
§3-4 实证数据二叉树模型分析

E[Sk]＝ (pu+qd)kS0
连锁法（向后推导法）
(节点股票价格)×(pu+qd)剩余列数
§3-2 欧式看涨期权定价
已知S0，u，X，d，r
1、求风险中性概率

2、期望折现

§3-3 美式和奇异期权定价
提前执行法则＝max（连锁法值，立即执行值）
向下敲出期权的定价（奇异期权）

步骤：
1、构造股票二叉树和期权二叉树
2、在敲出价以外的期权二叉树的节点设为0
3、用连锁值法求期权。
回望期权定价
回望期权：期权的买方有权按过去时间段中最高标的资产的价格来计算的到期支付。
只能按路径法计算
缺点：计算速度很慢，是2N(N是期数)

§3-4 实证数据二叉树模型分析
怎样根据市场数据选择u，d和p？
在短时间⊿t内，股票的预期收益为μ⊿t ，
方差为σ2⊿t。
预期收益
E(S)=puS＋（1－p）dS＝Se μ⊿t
p＝（e μ⊿t －d）/（u－d）
方差
pu2＋（1－p）d2－[ pu＋（1－p）d]2= σ2⊿t
和
μ和σ的估计
首先得到股票数据的统计值：

因此
和
风险对冲
卖出一份衍生产品，并买入a份股票进行对冲
对冲比：

N期二叉树模型风险对冲一般步骤：
1、构造股价二叉树图；
2、用连锁法则计算衍生品价格树；
3、从t＝0时刻起，确定对冲的股票。可根据对冲比公式计算得到；
4、在t＝1时刻以及接下来的各期，重复步骤3，重新调整股票数量。

第四章Excel实现二叉树模型
§4-1 Excel的基本概念
§4-3 美式期权二叉树
§4-4 障碍期权二叉树
§4-2 欧式期权二叉树
§3-1 Excel的基本概念
引用：在Excel中的引用是为了指明公式中所用数据（单元格或单元格区域）的位置。
1、外部引用：引用对不同工作簿中的单元格。
2、远程引用：引用其它程序中的数据。
3、相对引用：公式中，引用单元格相对于包含公式的单元格的相对位置。
4、绝对引用：引用单元格的绝对位置。
如果在复制公式时不希望Excel 调整引用，
那么请使用绝对引用。即加入美元符号，如$C$1。
§4-2 欧式期权二叉树
1、建立股票二叉树，确定期权二叉树的位置
2、确定期权二叉树的末端支付max（X－ST）
看涨期权步骤：
3、确定风险中性概率q和折现因子e-r
4、用连锁法确定期权的价值e-r[(1-q)D+qU]
§4-3 美式期权二叉树
1、建立股票二叉树，确定期权二叉树的位置
2、确定期权二叉树的末端支付max（X－ST）
看涨期权步骤：
3、确定风险中性概率q和折现因子e-r
4、用连锁法确定未执行的期权值e-r[(1-q)D+qU]
5、期权价值Vt＝max（e-r[(1-q)D+qU] ，X-St）

§4-4 障碍期权二叉树
敲出看涨期权步骤：
1、确定看涨期权二叉树
2、将超过障碍的期权部分的值置为0
3、刷新表单数据

第五章连续时间模型和B-S公式
§5-1 股价离散模型
§5-3 Black－Scholes公式
§5-2 股价连续模型
§5-4 二叉树和连续时间模型

§5-1 股价离散模型

§5-2 股价连续模型
几何布朗运动模型（GBM）：
dS= μSdt+σSdW
该随机微分方程的解：
St＝S0exp[σWt+(μ- σ2/2)t]
估计参数μ和σ
已知:在[0,T]区间上的观测值Si（第i个子区间末的股价）样本为n十1个。
第一步计算时间序列值：
Ui＝1n(Si＋1)一1n(Si)
第二步计算统计量（均值和方差）
和
第三步解方程

§5-3 Black－Scholes公式
X＝执行价，T＝到期时间，σ＝股价波动率
μ＝股价漂移率，r＝无风险利率
看涨期权： V= S0N(d1) – Xe-rTN(d2)
其中，N(x)表示标准正态分布函数。

公式推导
公式1：
E[max(V-X,0)]=E(V)N(d1)-XN(d2) （1）
和
V服从对数正态分布，标准差是s
Black－Scholes公式
V=ST，E(V)=erTS0，s=σT1/2

期权平价公式
命题：
对同一种股票，同一个执行价格及同样到期日且股票在到期日之前不分红的欧式看涨和看跌期权价格有如下关系：

§5-4 二叉树和连续时间模型
在多期二叉树中，已知Su、Sd和q。N趋向于无穷时，随机变量lnST近似服从正态分布。只要Δt足够小，多期二叉树可以得到合理精度的解。
Pr[期权价值处于实值状态]＝N（d）

第六章B-S模型的解析方法
§6-1 B-S微分方程
§6-3 期货期权
§6-2 B-S微分方程求解
§6-1 B-S微分方程
思路：
设V(S，t)表示股票期权的价格，St是股票在t时刻的价格．假设V(S，t)是关于变量S和t的平滑的函数：
第1步：将函数V关于S和t进行泰勒级数展开；
第2步：将dS代入V的泰勒级数中；
第3步：进行代数变换，(简化布朗项和忽略高阶项)
第4步：令V与复制的资产组合相等。
关键问题：随机变量Z2dt怎么处理？
E[Z2dt] = dt E[Z2] = dt，
Var(Z2dt) = (dt)2 Var(Z2)，
即随机变量Z2dt的均值为dt，它的方差比dt高阶，当dt ® 0时，有Var(Z2dt) ® 0。
一个随机变量，若它的方差为零，则可以认为它是一个确定的量，并等于它的均值。从而
Z2dt = dt。
(μSdt+σSdW) 2 ≈ σ2S2dt
初始条件与偏微分方程：
为了得到诸如欧式看涨期权等衍生产品的价格，方程必须结合边界条件进行求解。
如：欧式看涨期权的边界条件
1、到期支付：V(S，t)＝(S－X)＋
2、上边界: S¥®, V®S
3、下边界: S＝0, V＝0 ．
§6-2 B-S微分方程求解
B-S微分方程有许多解，但对某一指定的期权价格而言，就仅有一个符合条件的初始条件和边界条件。确定初边值条件后，微分方程的解就唯一确定了。
现金0-1期权
现金0-1期权在到期时刻T的支付如下：
·如果股票价格表现好(S＞X)，则期末价值为l元;
·如果股票价格表现不好(S＜X)，则期末价值为0。
V(t)=e-r(T-t)N(d2)

股票0-1期权
股票0-1期权在到期时刻T的支付如下：
·如果股票价格表现好(S＞X)，则期末价值为S;
·如果股票价格表现不好(S＜X)，则期末价值为0。
可验证B－S微分方程的解为
V(t)=SN(d1)

欧式看涨期权
设持有一份股票0－1期权同时卖出X份现金0－1期权，临界价格为X。
到期时，
如果股票表现坏(S<X) ，则组合价值为0
如果股票表现好(S＞x)，则组合价值为S－X
组合的到期支付与欧式看涨期权一致，因此，欧式看涨期权的价值应该与组合价值相等。
V(t)= SN(d1) －Xe-r(T-t)N(d2)
§6-3 期货期权
期货的价格F为
Ft＝Ster(T-t)
欧式期货看涨期权

期货期权的偏微分方程

第七章对冲
§7-1 德尔塔对冲
§7-3 比较静态分析
§7-2 隐含波动率
德尔塔对冲的思路：
衍生资产与标的资产价格变化相匹配
比率＝ Δ＝ ΔC/ΔS
随着Vt和St的变化，要重新调整资产组合，即S、 ∏ 、∆和B都与时间有关．通过瞬时调整∆(t) 以保证每一个瞬间都有：
d ∏ ＝r ∏ dt
对冲法则：对冲就是卖出一份期权，同时买进Δ股股票
连续情况下
欧式看涨期权的对冲：Δ＝N(d1)
德尔塔对冲的缺陷：
1、需瞬时调整资产组合
2、买卖的股票数量并不一定是整数倍
3、没考虑买卖价差或者交易成本
4、可能出现股票高买低卖
对冲方法
1、看跌期权对冲
2、双限对冲：指买进平值看跌期权同时又卖出虚值看涨期权。
3、成对交易对冲：“超级”和“倒霉”公司
4、相关关系的对冲
§7-2 隐含波动率
利用B—S公式求股价波动率σ——隐含波动率
观察一系列具有相同到期日但执行价格不一样的欧式看涨期权。理论上，不同期权的隐含波动率应该是一样的。但事实上，出现了不一样的情况——波动率微笑。
§7-3 比较静态分析
在期权定价公式中，有三项扮演着重要角色
Δ(德尔塔)、Γ(伽码)和Θ(西塔)
Δ> 0意味着标的资产价格增加，看涨期权的价值也增加。
看涨期权价格关于标的资产价格的弹性
，
期权比股票的风险要大
伽码

欧式看涨关于股票价值的曲线总是凸的
由于S的变化引起的C的变化
dC≈ΔdS＋Γ(dS)2/2
当处于平值状态的看涨期权快到期时，需进行Γ对冲
西塔

这意味着t越大，在其他参数不变的条件下，离到期日越短的期权，欧式看涨期权价值越小。
Λ(Lambda或 Vega)

这意味着欧式看涨期权的价值随波动度s的增加而增加。

ρ(rho)

这说明随着无风险利率增加看涨期权的价值也增加